【美不胜收】求解动点轨迹方程的的七种解法------全方位，无死角！！！

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定义

利用解析几何中一些常用的定义（如圆、椭圆、双曲线和抛物线），可以根据曲线的定义直接写出轨迹方程，也可以根据曲线的定义建立关系，得到轨迹方程。

一些常见的基本曲线的定义如下：

① 圆：到定点的距离等于定长

② 椭圆：到两个固定点的距离之和恒定（大于两个固定点之间的距离）

③双曲线：到两个固定点的距离之差的绝对值恒定（小于两个固定点之间的距离）

④抛物线：定点到定直线的距离相等。

例：已知圆(x+4)2+y2=25的圆心为M1，圆(x-4)2+y2=1的圆心为M2。这两个圆外接一个移动圆。找到移动圆的中心。 P 的轨迹方程。

注意：计算完轨迹方程后，一定要结合题意，注明变量x和y的范围。

变形一：运动圆M外切圆O1：x2+y2=1，内接圆O2：x2+y2-6x+8=0，则运动圆圆心M的轨迹方程。

变式2：若B(-8,0)和C(8,0)是△ABC的两个顶点，且AC、AB两侧中线长度之和为30，求圆心方程△ABC的重力轨迹。

直接法

如果动点运动的条件是一些几何量（几何、三角或矢量表达式等）的等价关系，这些条件简单明了，可以很容易地表示为包含x和y的方程，那么轨迹方程获得。这种方法称为直接法。

使用直接法解决问题的步骤如下：

①设定点：设定移动点的坐标为(x,y)

②列公式：根据题的已知条件得到等价关系

③ 化简：整合关系表达式

④范围：确认变量x和y的值

例：移动点P到两个固定点A(-3,0)、B(3,0)的距离之比等于2，即￨PA￨：￨PB￨=2:1 。求移动点 P 的轨迹方程。

变化一：点M(x,y)到直线x=8的距离与它到固定点F(1,0)的距离之比为2，则求移动点的轨迹方程M。

变式2：过A1(-1,0)和A2(1,0)画两条相互垂直的直线，然后求它们交点M的轨迹方程。

几何法

如果所需的轨迹满足某些几何属性（例如垂直直线、线段的垂直平分线、角度的平分线、直角三角形斜边的中心线等于斜边的一半等），则可以列出求出几何方程，然后带入点坐标即可求出。轨迹方程，这种方法称为几何方法。

例：过点P(2,4)画两条相互垂直的直线L1和L2。若L1与x轴相交于A点，L2与y轴相交于B点，则求线段AB中点M的轨迹方程。

变式：穿过圆O：x2+y2=4外的一点A(4, 0)，画圆的割线，求弦BC中点M在该处截取割线的轨迹方程圆圈。

相关点法

运动点满足的条件不容易表达或找到，但形成轨迹的运动点P(x,y)随着另一个运动点Q(x0,y0)的运动而有规律地运动，并且运动点Q(x0,y0)的运动轨迹动点Q给定或者容易求得，我们可以先将x0和y0表示为x和y的公式，然后将它们代入Q的轨迹方程。然后我们可以整理出P的轨迹方程，称为相关点法。

相关点法解题步骤：

①设形成轨迹的移动点P的坐标为(x,y)；

②设Q点坐标为(x0,y0)，F(x0,y0)=0；

③ 利用点Q有规律可得移动点P：x0=f(x,y)，y0=g(x,y)；

④ 将x0=f(x,y)、y0=g(x,y)代入F(x0,y0)=0，即可得到P点的轨迹方程。

例：抛物线y2=4x的路径与抛物线相交于A、B两点。移动点C在抛物线上。求△ABC的重心P的轨迹方程。

变形一：从双曲线x2-y2=1上的一点Q出发，引出直线x+y=2的垂线，以垂脚N，求线段QN的中点P的轨迹方程。

变形2：设定点M(-3, 4)，移动点N在圆x2+y2=4上移动，以OM和ON为两条边构造平行四边形MONP，求点P的轨迹方程。

参数法

有时很难直接找到移动点的横坐标和纵坐标之间的关系。如果借助中间量（参数）建立x和y之间的关系，然后从方程中消去参数，就可以得到运动点的轨迹方程。这种方法称为参数化方法。

例：过点A(0, 1)画直线L和抛物线：x2=4y交于两点D、E，O为坐标原点，求△ODE的重心G的轨迹方程。

变式：设抛物线y2=4x的准线为L，焦点为F，顶点为O，P为抛物线上任意点，PQ⊥L，Q为垂足，求抛物线的轨迹方程QF 和 OP 的交点 M。

传播法

设直线与圆锥曲线交点的坐标为A(x1,y1)和B(x2,y2)，将这两点带入圆锥曲线方程中，并求两个方程的差求得中点与弦AB相关的斜率公式可以大大减少计算量。我们把这种用点来改变的方法称为“传播法”。点差法对于解决弦中点轨迹问题非常有效。

例：求抛物线y2=4x通过焦点F的弦中点M的轨迹方程。

变式：过原点的直线L与抛物线y=x2-4x+6相交于两点A、B。求线段AB中点M的轨迹方程。

交叉法

在求移动点的轨迹时，有时会出现需要两条移动曲线相交的轨迹问题。这个问题通常是通过求解方程组得到交点的坐标（包括参数），然后消去参数得到想要的轨迹方程。该方法通常与参数法一起使用。

使用交集法求解问题的步骤：

① 根据题意可知，移动曲线F(x,y)=0与移动曲线G(x,y)=0相交于点P。设移动点P的坐标为( x,y)

② 结合F(x,y)=0和G(x,y)=0即可得到交点的坐标。

注意：得到的交点坐标通常带有参数，也会有一个参数消除的过程。

例：如图所示，已知抛物线C：y=x2，移动点P在直线L上移动：xy-2=0，抛物线C的两条切线PA和PB为过点P画，分别与抛物线C相切。在A、B两点，求△APB的圆心G的轨迹方程。

变式：已知椭圆：x2/3+y2/2=1的左右焦点分别为F1和F2，直线L1经过F2并垂直于x轴，移动直线L2垂直于y 轴，L2 与 L1 相交于点 P。求线段 PF1 的垂直平分线与直线 L 的交点 M 的轨迹方程。