17.两道与等腰直角三角形有关的相似题目

17.两道与等腰直角三角形有关的相似题目

1、在等腰Rt△ABC及其延长线的斜边CB上分别选取D点和E点，使∠DAE = 90°。验证：BE·BD=CD·CE

问题是一个等腰直角三角形，两个直角有一个公共顶点。很难不想到旋转，所以你可以尝试制作以下辅助线。

即绕A点顺时针旋转ΔADC 90°。

接下来，将结论进行变换（将等积方程转化为等比方程），然后由CD=BF求得。这时，你可以发现它是∠BEF的正切值（△BFE恰好是一个直角三角形），所以很自然地认为CE是一个以∠BEF为直角三角形的直角边锐角称为CG⊥EC，与EA的延长线相交于G，

不难求出△ABD≌ACG和△FBE∽△GCE来完成证明。

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2、如图所示，AB是等腰直角三角形ABC的斜边。若M点在AC边，N点在BC边，则将△MCN沿直线MN对折，使C点落在AB边上。假设它的着陆点是P。

(1) 当P点为AB边的中点时，比例公式成立吗？为什么？

(2) 当P点不是AB边的中点时，它仍然成立吗？请解释原因。

直接看第二题，我们可以将其折叠得到CM=MP，CN=NP，

解决方案1

显然，PM和AP所在的三角形与BN和PB所在的三角形并不相似，而是一个角相等，另一个角互补，因此可以得到以下方法。 AM上取E使得PE=PM，则∠AEP=∠CMP=∠PNB，∠A=∠B=45°，△AEP∽△BNP，问题得证

解决方案2

或者画一条垂直线？

△DMP∽△ENP、△ADP∽△BEP

解决方案3

并行，AP∶BP=AD∶CD，AD=PD

AP∶BP=PD∶CD，△CPD∽△NMC，PD∶CD=CM∶CN。

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上次的第十题其实可以算是初一的一道题，《课堂精炼》小册子的最后一题

。我当然找不到

，但是还有新的