高考数学解题技巧及规范答题：立体几何大题

高考数学解题技巧及规范答题：立体几何大题

高考数学三维几何题解题技巧及标准答案【常规方法】1.垂直线、垂直线与垂直面、垂直面的变换：关于垂直问题的结论，要注意垂直线、垂直线和垂直面。

平面垂直线的相互转化，每个垂直线判断开始转向另一个垂直线，最终达到目的。线的垂直度是关键。 2. 使用空间向量求两个平面形成的角度（或余弦）

Value) 方法： (1) 求平面 的法向量， (2) 设平面 , 所成的角为 ，则 。 3、求空间几何体积的常用方法： （1）直接法：对于正则几何

体积可以直接用体积公式计算出来（如本题）； (2)等面积法：对于三棱锥的“等面积法”，任意面都可以作为三棱锥的底面； (3) 截补法：对于不规则的

常通过分割法、补法等方法将几何图形转化为规则几何图形进行计算求解。 【核心能力】主要考查的核心能力有数学抽象、逻辑推理、直觉想象、

数学运算。 [典型示例] [2021·国家] 如图所示，在三棱锥中，平面 ， 是 的中点。 (1) 证明：； (2) 如果是边长为1的等边三角形，则该点在边上

，，二面角的大小为，求三棱锥的体积。 【分数显示】解法一（法向量法）： (1) 证明：因为， 是 的中点，所以，【必须给出 AO⊥BD 的证明

过程，只陈述“AO⊥BD可以从题意得到”不会给分】还有平面平面，平面平面，平面，所以平面【必须注明平面ABD平面BCD，只有这个条件缺失，会扣1]

【点】也是一个平面，所以； 【必须标出平面BCD，否则不会给出点】 (2) 取中点，因为它是等边三角形，所以如果交点和交点都在该点，那么，因此，两者垂直，由

点为坐标原点，以 、 、 、 分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系。 【这里需要证明“直线是垂直的”。未能证明三线垂直扣一分；它必须显示为辅助线

在处理的过程中，只有辅助线体现在图中而没有体现在过程中，减1分。]那么,,,,,1,,假设,0,,那么，因为平面，平面的法向量是，[this to use

平面上距离的合理变换。设置 和 的坐标。如果不写出位置关系和变换过程，扣1分。】假设平面的法向量为，且，所以从，我们得到，令，则，，因此，【这到处求

求两个平面的法向量。如果方程组错误，扣2分。如果方程组正确，但法向量错误，扣1分。]因为二面角的大小是，所以，解是，所以，[这里通过两种方法

求向量形成的角度，如果计算结果错误但公式正确，扣1分；计算结果错误、公式错误扣2分。] 且、所以、因此。 【这里，三角形的公共面积为

使用公式和体积公式来计算体积。如果底面积正确，但体积计算错误，扣1分。] 【评分规则】 ① 将三条线合二为一证明AO⊥BD，得1分 ② 利用以下性质证明表面是垂直的

证明AO⊥平面BCD 2分。 ③利用线与面垂直的性质证明AO⊥CD，得1分。 4.利用(1)的结论证明三条直线垂直，建立合理的体系得2分。 5.正确写出总和

设定该点的坐标，并指出平面的法向量，即可得到2个点。 ⑥ 正确求出平面的法向量，再得到2个点。 ⑦ 用二面角的余弦求出，得2分。 ⑧ 正确查找。容量不足

1分。 【解题方法和步骤】 1、注重平面几何知识的应用。比如这道题，利用三线合一等平面几何知识，三条线相互垂直。 2、注意线条的垂直度以及线与面的垂直度。

，面和垂直之间的相互变换。应用性质定理和判定定理时，要注意条件的完备性，不要遗漏。 3. 注意问题（1）的结果：在问题的条件下，如果

问题（1）和问题（2）的结果可以使用，可以直接使用。有些问题如果没有问题（1）的结果甚至无法解决。例如，在这道题中，通过(1)和问题假设证明了三条直线互相垂直。再次

合理建立空间直角坐标系。 4、计算四面体的体积时，必须合理选择底和高。例如本题第（1）题，证明了AO⊥平面BCD，因此选择三角形BCD作为四面体。

的底面为

AO⊥BD”不会给出点]因为平面ABD平面BCD，平面ABD⊥平面BCD，平面ABD，所以AO⊥平面BCD，【必须指定平面ABD平面

BCD，缺少此条件才扣1分]因为平面BCD，所以AO⊥CD[必须指定平面BCD，否则不得分] (2)对于F中的EF⊥BD，FM⊥BC

在M中，连接FM...【必须展示制作辅助线的过程。如果辅助线只在图片中显示而在过程中没有显示，则扣1分]因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD，AO​​⊥CD

所以EF⊥BD，EF⊥CD，，所以EF⊥平面BCD，即EF⊥BC【必须注明，否则扣1分】因为FM⊥BC，，所以BC⊥平面EFM，即

BC⊥ME是二面角E-BC-D的平面角。 [这里写“是二面角E-BC-D的平面角”将得1分。否则不给1分。]因为，是正三角形，所以

是直角三角形【必须给出直角三角形的证明过程，缺乏证明过程不扣分】因为，因此EF=FM=，所以平面BCD，所以【这里用三角形

使用面积公式和体积公式来计算体积。如果底面积正确但体积计算错误，扣1分。] 【评分规则】用三条线的组合证明AO⊥BD，得1分。 ②使用垂直面

该性质证明AO⊥平面BCD，得2分。 ③利用直线与平面垂直的性质证明AO⊥CD，得1分。 ④画出辅助线，并用语言正确表达，得1分。 ⑤ 从线与面的垂直度来看，

性质和判断证明EF⊥BC，再得2分。 ⑥证明它是二面角E-BC-D的平面角，另得2分。 ⑦ 利用直角三角形的性质得到直角三角形，再得到2分

. 正确计算体积可得2分。 【解题方法和步骤】 1、注重平面几何知识的应用。例如，本题（1）中，将三条线合二为一，得到AO⊥BD，而（2）中则使用中心线

它是一条边的一半，并被证明是一个直角三角形。 2、注意垂直线、垂直线和垂直面之间的相互转化，应用性质定理和判定定理时，要注意条件的完备性，不要

应省略。 3、注意二面角与二面角平面角的关系，注意二面角平面角的方法和证明。 4.计算四面体的体积时，必须合理选择底和高，如这道题

(1) 证明中得到了AO⊥平面BCD，因此选择三角形BCD作为四面体的底面。 【好题练习】（2022·河北高中模拟）1、如图所示，在四面金字塔中，底边

表面是梯形,,,,。 (1)证明：平面； (2) 若四棱锥体积最大时，求直线与平面夹角的正弦值。 【分析】（1）取中点，，连接，，

，得到了曲面，因此可以先将待证明的平面转换为验证面进行验证； (2)可以通过建立空间直角坐标系并利用空间向量来求解。 【详细解释】（1）取，中点，

， 连接，，。从，我们得到，，，，所以飞机。由此，我们知道四边形是平行四边形，那么，平面，平面，所以平面，同样也是平面，并且，所以平面，平面，所以平面。 (2

）由此，我们知道四边形是等腰梯形。连接起来，那么，它也是一个平面，所以，它也是一个平面，它也是一个平面，所以它是一个平面，所以底面上的一点的投影在上面。 （在平面上，该点位于

（以AC为直径的圆上的运动）取中点，则以底为底时，四棱锥的体积最大。如图所示，以 , 为原点，射线 , 为轴的正半轴，建立空间直角坐标。

标准体系。从题意我们可以得到，，，，。所以，，。让平面的法向量通过以下方式获得（原因

)) 如图所示，四角锥的底面是边长为6的正方形。 (1) 证明：； (2) 当四棱锥的体积为 时，求二面角的正弦值。 【分析】（1）分别取 , 的中点

，证明平面可以得到，可以证明从等腰三角形的性质可以得到，可以通过证明三角形全等来证明； (2) 取上面一点O，将其连接起来，根据已知条件，证明O是正方形

中心，建立空间直角坐标系求平面和平面的法向量，可以利用角度公式求解。 【详细解释】（1）证明：分别取中点，并连接,,,∵,∴,∵,

∴，∵，，∴平面，∵平面，∴，in，∵垂直平分，∴，∵，，∴，∴。 (2) 由(1)可知平面，在其上取点O，连接它，则 ，它是一个四棱锥

高度，∵，解为，∵，则，即O为正方形的中心，以O为坐标原点，经过O点并垂直于它的直线为x轴，直线为y轴，直线为z轴，建立如下图所要求的

角度正弦空间直角坐标系

3、如图所示，在四棱锥平面中，四边形是边长为4的正方形， 、 分别是 的中点。 (1)证明：平面； (2)如果是等边三角形，求三棱锥

的体积。 【分析】（1）从 、 分别连接 到 的中点，即可用线面平行确定定理证明； (2) 建立图中系统，用向量法求各点到平面的距离

从，然后从等边得到答案

三角形，so，so，如图所示，以原点为轴，经过平面的垂直轴，建立空间直角坐标系，然后,,,,,,假设平面的法向量，也就是说，让，那么，

如果，则点到平面的距离，且，所以。 4.（2022·全国）已知四棱锥的底面是菱形，对角线交于点，，，，设底面满足。 (1) 如果是三棱锥

体积是，得到的值； (2) 若直线与平面夹角的正弦为 ，则得到该值。 【分析】（1）从题意可知，、、、相互垂直。建立空间直角坐标系。假设，给定，找到

要得到 M 的坐标，做 , ，然后用 (2) 求解 从 (1) 中，我们可以找到平面的法向量为 (1) 因为

四边形是菱形，所以，因有底，所以，，所以， 和 互相垂直。建立如图所示的空间直角坐标系。让、、、因为、所以、所以、所以、过度、过度

于故可解。 （2）由（1）可知，，，设平面的法向量为，，设，，设直线与平面所成的角为，则解为或（舍去）。 5.（2021年

·江苏南通·3年级）如图所示，四棱锥中，四边形是直角梯形，,,,,,,,,,M是平面，平面，直线与平面夹角的正切为。 (1)找到四金字塔

如果存在，请确定Q点的位置；如果不存在，请说明原因。 【分析】（1

）首先根据面垂直性、线面垂直性的性质定理和线面垂直性的判定定理求出四棱锥的高度，然后根据直线与面的夹角的正切值平面，可以计算。最后根据锥体

物体的体积公式可以用中式求解

点，，和平面，平面，平面，即，和，平面，所以是四棱锥的高度，也就是直线与平面的夹角，也就是四棱锥的体积是; (2) 假设有一个点，如图所示建立

又，解为： 的空间直角坐标系，即边上存在的中点Q（不包括端点）使二面角的余弦值为。 【方法点评】立体几何中如何求空间角：（1）定义方法：根据空间角（直线与不同平面形成的角、线面角、二面角）的定义可以为通过制作辅助线，在几何中制作空间角，然后求解对应的三角形而得到； (2)空间向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量之间的夹角（两条直线的方法向量之间的夹角）求出直线的方向向量和平面的法向量，直线方向向量与平面法向量之间的夹角，两个平面之间的夹角）法向量之间夹角的余弦值）可以用来求空间角。第 1 页，共 17 页

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