【数学干货】几何图形辅助线添加方法，从此做题很轻松！

【数学干货】几何图形辅助线添加方法，从此做题很轻松！

1.在三角形中添加常用辅助线

1.与角平分线相关

(1)两边可以画垂直线；

(2)可以画平行线构造等腰三角形；

(3)在角两边截相等的线段，构造全等三角形。

2、与线段长度有关

(1)长度截断：证明两条线段的和或差等于第三条线段时，常从较长的线段截去一段，使其等于其中一条线段，进而求同余或相似用于证明余数相等。另一条线段就可以了；

（2）补缺：证明两条线段的和或差等于第三条线段时，还可以在较短的线段上延长一段，使延长的部分等于另一条较短的线段，并且然后利用同余或相似证明延长的线段等于那条长线段；

（3）中线长度加倍：如果题中出现三角形的中线，方法是将中线加倍，然后连接端点得到全等三角形；

(4)遇到中点时，考虑中线或等腰等边单位中的三条线。

3.与等腰等边三角形相关

（1）考虑三线合二为一；

(2) 旋转一定角度，构造一个完整的三角形。将顶角等腰旋转，等边旋转60°。

2、四边形中添加常用辅助线

1.如何创建与平行四边形相关的辅助线

平行四边形是最常见的特殊四边形之一。它有许多可以利用的属性。为了利用这些特性，通常需要添加辅助线来构造平行四边形。

(1) 用一组平行且相等的对边构造平行四边形；

(2)用两组对边作平行四边形；

(3) 用对角线平分构成平行四边形。

2、与矩形相关的辅助线方法

(1)对于计算类题，通常通过辅助线构造直角三角形，利用勾股定理来解题。

(2)证明或探索题。一般利用对角线相等的性质来求解连接矩形的对角线。与矩形相关的问题辅助线较少。

3、菱形相关辅助线的使用方法

与菱形相关的辅助线主要用于连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定理解决问题。

(1) 制作菱形的高度；

(2) 连接菱形的对角线。

4.如何使用与正方形相关的辅助线

正方形是一个完美的几何图形。它既是轴对称图形，又是中心对称图形。关于正方形有很多问题。有时你需要制作辅助线来解决平方问题。画正方形对角线是解决正方形问题常用的辅助线。

5、梯形相关辅助线的使用方法

与梯形相关的辅助线的方法有很多，主要涉及以下几种：

(1) 沿一条边画平行线，构造平行四边形和特殊三角形；

(2)求梯形的高并构造一个长方形和一个直角三角形；

（3）画出平行对角线，构造直角三角形和平行四边形；

(4)两腰部伸展成三角形；

(5)在两腰间画平行线等。

3.在圆圈中添加常用辅助线

1.遇到字符串时（解决字符串相关问题时）

通常会添加弦中心距离，或者添加垂直于弦的半径（或直径）或连接弦端点的半径。

影响：

①利用垂直直径定理；

②利用圆的圆心角与其对应的弧、弦、弦心距的关系；

③用弦的一半、弦心距和半径构成直角三角形，根据毕达哥拉斯定理求出相关量。

2.遇到直径时

通常添加（画出）直径所对的圆周角

功能：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形

3、遇到90度圆周角时

通常连接两个没有公共点的字符串的其他端点。

功能：利用圆周角的性质，可以求出直径

4.遇到字符串时

常将圆心处的弦的两个端点连接起来，构成等腰三角形，也可以将圆周上一点处的弦的两个端点连接起来。

影响：

①可得到等腰三角形；

②根据圆周角的性质，可以得到等圆周角。

5.遇到切线时

常常加上穿过切点的半径（连接圆心和切点）；

功能：利用切线的性质定理，可以得到OA⊥AB，得到直角或直角三角形。

经常添加连接圆和切点的点；

功能：可以形成弦切角，从而利用弦切角定理。

6.当证明某条直线与圆相切时

(1) 如果直线和圆的公共点尚未确定，则总是通过圆心画直线的垂直线段。函数：若OA=r，则l为切线。

(2) 若直线经过圆上某一点，则将此点与圆心（即为半径）连起来： 只要证明 OA⊥l，则 l 就是切线。

(3) 如果遇到圆上或圆外的点，则画圆的切线。

7、遇到两条相交的切线（长切线）时

经常将切点连接到圆心，将圆心连接到圆外一点，连接两个切点。

函数：根据切线长度等性质，可得

① 角度与线段的等价关系

② 纵向关系

③ 全等相似三角形

8.遇到三角形的内切圆时

将内心连接到每个三角形的顶点，或通过三角形每条边的内心绘制垂直线段。

功用：利用心性，可以得到

① 三角形中心与三角形三个顶点的连线为三角形的角平分线；

② 三角形中心到三边的距离相等。

9.遇到三角形的外接圆时

连接外心和顶点

功能：三角形外心到各顶点的距离相等。

10.当两个圆分开时

（解决与两圆的外公切线和内公切线有关的问题）经常画切点的半径、连接圆心的线、平移公切线或连接圆心的平移线。

影响：

①利用切线的性质；

②运用解直角三角形的相关知识。

11.当两个圆相交时

经常绘制常见的弦、连接两个圆心的线、交点和圆心。

影响：

①利用质心线的性质解决直角三角形的相关知识；

②利用四边形内切圆的性质；

③ 利用两个圆的公周长的性质；

④垂直直径定理。

12.当两个圆相切时

经常画连接线和公共切线。

影响：

①利用中心线的性质；

②切向性质等。

13.遇到三个成对外接圆时

总是画一条线连接每两个圆的中心；

作用：利用心连线的特性。

14.当四边形的对角线互补时

经常会添加辅助圈子。

功能：利用圆的特性。