几何模型｜“三线合一”定理及其逆定理

几何模型｜“三线合一”定理及其逆定理

三角形将在北京师范大学版七年级数学和人民教育出版社八年级数学中学习。其中，等腰三角形的“三线合一”性质被广泛运用。它可以用来巧妙地证明角度相等、线段相等或直线垂直。问题。

“三行合一”的重要性质就是我们所说的“三行合一定理”和“三行合一逆定理”。 “逆定理”是存在的，但课本上没有，不能直接使用。有必要证明。

1.三角形的“三线”

指三角形的高、中线和角平分线。

2.“三线合一”定理的证明

在等腰三角形中，顶点的角平分线、底边的中线和底边的高彼此重合。缩写为“三行合一”。 （前提必须是等腰三角形，其他三角形不适用）

(1)如图所示，在等腰三角形△ABC、AB=AC、AD⊥BC中，验证：∠BAD=∠CAD、BD=CD。

证明：∵AB=AC，AD⊥BC，AD=AD

∴Rt△ADB≌Rt△ADC (HL)

∴∠BAD=∠CAD, BD=CD

摘要：在等腰三角形中，底边的高既是顶角的平分线又是底边的中线。

（2）如图所示，在等腰三角形△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，证明：AD⊥BC，BD=CD。

证明: ∵AB=AC, ∠BAD=∠CAD, AD=AD

∴△ADB≌△ADC（SAS）

∴∠BDA=∠CDA, BD=CD

∵∠BDA+∠CDA=180°

∴∠BDA=∠CDA=90°

∴AD⊥BC，BD=CD

摘要：在等腰三角形中，顶角平分线既是底边的高线，又是底边的中线。

（3）如图所示，在等腰三角形△ABC中，AB=AC，BD=CD，证明：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD。

证明： ∵AB=AC, BD=CD, AD=AD

∴△ADB≌△ADC (SSS)

∴∠BDA=∠CDA, ∠BAD=∠CAD

又∵∠BDA+∠CDA=180°

∴∠BDA=∠CDA=90°

∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD

摘要：在等腰三角形中，底边中线既是底边的高度线，又是顶角的平分线。

3.“三线合一”逆定理的证明

在三角形中，只要高线、中线、角平分线的两条线重合，就可以推导出这条线也是第三条线，则该三角形是等腰三角形。简而言之：如果两条线合二为一，它们一定是等腰的。

（1）如图所示，在△ABC，BD=CD，AD⊥BC中，验证：AB=AC，∠BAD=∠CAD。

证明： ∵BD=CD, AD⊥BC, AD=AD

∴△ADB≌△ADC（SAS）

∴AB=AC, ∠BAD=∠CAD

小结：在三角形中，如果高线与中线重合，那么这条线也是角平分线，则该三角形是等腰三角形。

（2）如图所示，在△ABC，∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，验证：AB=AC，BD=CD。

证明：∵∠BAD=∠CAD, AD⊥BC, AD=AD

∴△ADB≌△ADC (ASA)

∴AB=AC，BD=CD

小结：在三角形中，如果高与角平分线重合，那么这条线也是中线，这个三角形是等腰三角形。

（3）如图所示，在△ABC，∠BAD=∠CAD，BD=CD，验证：AB=AC，AD⊥BC。

证明： ∵BD=CD

∴S△ADB=S△ADC（等底与等高）

通过D点，让DE⊥AB通过E点，让DF⊥AC通过F点。

∵∠BAD=∠CAD∴DE=DF

∵S△ADB=S△ADC（等高等于底）

∴AB=AC

∴△ADB≌△ADC (SSS)

∴AB=AC，AD⊥BC。

小结：在三角形中，如果中线与角平分线重合，那么这条线也是高线，则该三角形是等腰三角形。

注意：这种逆命题不能作为定理。掌握它及其证明过程的目的是为我们解决问题增添一个重要的思想和方法。

4． “三线合一”定理及其逆定理的应用

只要出现上述四个条件中的两个，就可以推导出另外两个。