H.L全等判定定理的证明

H.L全等判定定理的证明

HL同余定理的证明

原标题

已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=DF，证明：△ABC≌△DEF。

【解1】毕达哥拉斯定理。我们先看勾股定理的证明过程：如下图所示：

由此我们推导出直角三角形三边之间的数量关系，这就是著名的毕达哥拉斯定理：

回到这个问题，如下图所示：

根据毕达哥拉斯定理：BC²=AB²-AC²

EF²=DE²-DF²

且 ∵AB=DE, AC=DF,

∴可得BC=EF。

这样，将原题SSA的三个条件转化为SSS，然后我们就可以判定两个直角三角形全等，也就是说HL可以判定两个直角三角形全等。

【方案2】我们看一下如下图所示的排列方式。学生能想到什么？

从已知的线索来看，两个分开的图形满足SSA，但不能作为判断两个三角形全等的依据。这时候我们就可以考虑通过人物移动来收集零散的线索来帮助我们解决问题。问题。

通过老师的讲法，学生是否能轻易想到将直角三角形平移成图形呢？我们为什么不尝试一下呢？

所以这时候我们就是将相等的线段AC和DF叠加在一起。会发生什么？如下图：

通过叠加 AE 和 DF，该图形看起来像一个等腰三角形。那么它是等腰三角形吗？换句话说，B、C（F）、E 三点共线吗？从图中我们很容易看出两个直角组成一个直角，所以确实是三点一线，即两个直角三角形组成一个等腰三角形。由等边AB=AE，得到等角∠B 有了∠E，我们为全等创造了有利的条件AAS，这可以证明HL可以用来确定两个直角三角形的全等。

请同学们再想一想：除了AC和DF叠加之外，其他线段还可以叠加吗？ BC 和 EF 叠加吗？叠加AB和AE？

显然，我们选择叠加AB和AE，因为它们显然是相等的线段，并且可以有利于我们的证明。如下图：

你熟悉这个图形吗？这就是我们掌握的基本形状——风筝形状，如下图所示：

我们如何证明FB=CB？添加辅助线有两种方式，一种是连接AB（转化为同余证明，但是SSA无法证明同余，所以放弃了，后面就能证明了。为什么？因为HL）；另一种是连接CF（变换为两个等腰三角形，成功。）

回到正题：连接CF，如下图：

同样，将AB和DE叠加，最终可以证明HL可以确定两个直角三角形全等。

【解法3】老师现在改变两个直角三角形的放置位置，如下图所示：

这样的布置，学生会联想到什么样的图形动作，能够相对集中分散的情况呢？ ——旋转。如下图所示：

将△FDE绕F点逆时针旋转90°。因为FD=AC，D点将与A点重合，且∠DFE=90°，所以E点必然落在射线CB上（想想为什么？）。但无论E'点落在CB上（不包括B点）还是落在CB的延长线上，都必然有AE＜AB或AE＞AB的结论，而题目的条件告诉我们AB=DE，即AE=AB，那么矛盾就出现了。因此，E点和B点必须重合，即EF=CB。从SSS可以看出，两个直角三角形全等。还可以证明HL可以用来判断两个直角三角形的全等。

如果同学们还有其他的证明方法，记得教给老师。