1992年高考数学压轴题，难度不大，4种方法轻松求解

1992年高考数学压轴题，难度不大，4种方法轻松求解

圆锥曲线一直是高中数学中的一道难点题，也是多年高考数学试卷中的最后一题。本文与大家分享一道1992年高考理、工、农、医数学试卷中的一道真实圆锥曲线题。这道题也是当年卷的最后一道题，不过难度不是很大，4解就可以轻松解答。

方法一：传播法

在圆锥曲线的问题中，会出现曲线上的两点以及两点的中点，因此点差法是一种非常实用的方法。

首先设定两点的坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，然后将这两点的坐标代入二次曲线方程中进行差分，所以称为点差法。比如这道题，做差值再变形后，可以得到(y1-y2)/(x1-x2)=-b^2(y1+y2)/a^2(x1+x2)。由于直线AB的斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)，因​​此直线的斜率可以用点差法来表示。

另外，(x1+x2)和(y1+y2)分别是中点横坐标和纵坐标的两倍。设中点为Q(xq,yq)，因此简化后k=-b^2yq/a^2xq。

接下来可以用点斜率公式来表达AB垂直平分线的方程，然后求出x0，即：

x0=(a^2-b^2)xq/a^2。由于-a＜xq＜a，因此可以通过代入得到证明。

方法二：吠陀定理

若线段AB的垂直平分线与x相交，则直线AB的斜率一定存在，因此直线AB的方程可设为：y=kx+m。然后将y与椭圆方程一起消去，即可得到一个变量关于x的二次方程。然后根据吠陀定理，我们可以求出A、B两点的横坐标和纵坐标之和，从而求出中点AB的坐标。

接下来利用点斜率公式求出线段AB的垂直平分线方程，然后求出x0，即x0=mk(b^2-a^2)/(a^2·k^2 +b^2)。

那么根据AB的中点在椭圆内部，中点的横坐标在(-a,a)的范围内，则mk/(a^2k^2+b^2)的范围可得求得，x0可以通过代入极差求得。

方法三：两点之间的距离

由于点 P 位于线段 AB 的垂直平分线上，则：|PA|=|PB|。按照方法1同样的方法设置A点和B点的坐标，即可得到x1、y1、x2、y2、x0之间的关系。

并且由于A和B在一个椭圆上，将坐标代入椭圆方程，这样就可以消去y1和y2，进一步化简就可以得到x0，即x0=(x1+x2)(a^ 2-b^2)/2a^2，然后根据x1+x2的范围可以找到x0的范围。

方法四：普通圆法

点P在线段AB的垂直平分线上。那么以P点为圆心，|PA|=r为半径的圆将同时经过A、B两点，圆P的方程为：

(x-x0)^2+y^2=r^2。

将圆的方程和椭圆的方程联起来，消去y，得到x的二次方程。那么我们就可以用吠陀定理来表达x0的值，从而澄清结论。

作为最后一个问题，这个问题并不是很难。如果是你，你能得满分吗？