[快乐数学]圆锥曲线之定比点差法 直线向量化解决非对称韦达定理问题

[快乐数学]圆锥曲线之定比点差法 直线向量化解决非对称韦达定理问题

我们来看看这个问题。

这个问题有很多不同的解决方案，你可以先尝试一下。

我想借这个问题来介绍一下固定比率点差法以及线性向量化的解题策略。

1.第一个问题

对于第一个问题，给予积分。

直接设定点，利用量积的取值范围来求解。

这不是重点，我就不讲了。

2.第二个问题的常见解决方案

我重点介绍以下内容。如果您只是想知道这个问题的答案，那么请阅读本文

这里有一些储备知识。 （如果您已经知道，请不要阅读）

3. 传播方法

在回答第二个问题之前，我先介绍一下一些储备知识。

第一种是固定比例利差法。

当然，在此之前，我们首先要介绍一下传播方式。散布法是解决中点问题的好方法。

所谓点差法，就是设定一个点来赚取差价。

假设A、B在圆锥曲线上，C为AB的中点，O为坐标原点。

首先列出四个方程

1.A在圆锥曲线上

2.B在圆锥曲线上

3.和4.中点坐标公式

它可以通过计算 1. 和 2. 之间的差并使用平方差公式将其因式分解来获得。

OC 和 AB 的斜率的乘积是 e²-1（以 x 轴为中心的椭圆和双曲线）或 e²-1（以 y 轴为中心的椭圆和双曲线）的倒数。抛物线也可以这样做，但有 4 个结果。想要记住就会失血，所以建议现在就推。 （椭圆和双曲线也需要在考场导出）

什么什么，你不明白吗？

然后看看这个

4.固定分数公式

您也应该熟悉这一点。关于平面向量的旧知识。公式来源于课本研究

对于 P

x=(x1+λx2)/(1+λ)

y=(y1+λy2)/(1+λ)

其中P1(x1,y1),P2(x2,y2)

很容易证明，设P(x,y)

表达两个向量的坐标，然后等式求解方程。

考试时也是如此。

等等，不会有人无法证明这一点。

5. 线性矢量化

真正的内容从下面开始。

线性矢量化和固定比例点差法是刚才必要知识碰撞而产生的火花。

如果你还不知道怎么做，请观看我发布的两个视频。

所谓线性向量化其实很简单，就是将这类条件转化为向量。

已知三点A、B、C共线，且A、C的坐标已知。求B点的坐标。

怎么翻译呢？很简单

向量AB = λ向量BC（将需要的点放在中间）

B点的坐标可以利用固定分数公式求得。

至于λ，我们往往不知道，但是我们可以用λ作为参数来解决问题。

6、固定比例价差法

这里的固定比率点差法不仅可以用直线矢量化来解决，而且它本身也可以解决一些非对称韦达定理问题。

你可以从中学习

你也可以看看我的。如果你不明白，请再看一遍视频。

这里我给出一个非常通用的模型。

当固定比率 λ 已知或设定时，使用固定比率扩展方法。

在固定比例利差法中，我们仍然可以写出4个方程

1.A在圆锥曲线上

2.B在圆锥曲线上

3.和4.固定分数公式

我们以椭圆为例来说明如何处理方程。

同时将任意方程两边乘以 λ²

使用平方差公式进行差分并因式分解，然后将其代入方程 3. 和 4. 得到

其中，A(x1,y1)、B(x2,y2)为圆锥曲线上的点，C(x0,y0)为AB上的点。

使用固定比例展差法，我们一般要求x0或y0为0，因为这样会立即消除一个公式，计算量也会比较小。 （如果计算量较大，最好使用普通方法）

结合这个公式，我们可以用λ来表示x1，x2，y1，y2。 （你需要求解两个变量的线性方程组。我也教过你如何快速求解）

换句话说，如果知道A、B两点的坐标和比值λ，则求出1，求出2。

7、正式开始解决问题

再看一下标题

本题需要证明的结构是

其中，x项是不对称结构，并不是我们之前介绍的吠陀定理形式的公式。

并且固定点在坐标轴上。在绝望的情况下，可以考虑使用固定比例利差法。

第一设定点 C(x1, y1), D(x2, y2)

令向量CM=λ向量MD（直线向量化）

然后利用固定比例价差法得到

在我们的虚拟化下，y2/y1=-1/λ不需要更多的计算。

当我把结果带回来时，我刚刚消除了λ。答案是3。