【初中数学】初中数学三角形全等的判定+性质+辅助线技巧

【初中数学】初中数学三角形全等的判定+性质+辅助线技巧

三角形全等的确定

1. 具有三组对应边的两个三角形全等（SSS）。

2. 两个边和角相等的三角形全等 (SAS)。

3. 两个等角且内角相等的三角形（ASA）。

4. 两个等角和一个对边的两个三角形全等（AAS）。

5、直角三角形全等的条件是：斜边与直角边相等的两个直角三角形全等（HL）。

全等三角形的性质

①全等三角形对应边相等；全等三角形对应的角相等。

②全等三角形的周长和面积相等。

③全等三角形对应边的高相等。

④全等三角形对应角的角平分线相等。

⑤全等三角形对应边的中线相等。

如何找到全等三角形

（1）可以从结论出发，看看要证明相等的两条线段（或角）位于哪两个可能的全等三角形中；

（2）可以从已知条件出发，根据已知条件判断哪两个三角形相等；

（3）综合考虑条件和结论，看哪两个三角形全等；

(4)如果以上方法都不起作用，可以考虑添加辅助线来构造全等三角形。三角形全等的证明涉及两个要素：边和角。

缺角的条件：

缺边的条件：

辅助线施工常用方法

1、当题目条件中出现角平分线时，必须根据角平分线的性质构造辅助线。

角平分线有两个性质：①角平分线对称； ②角平分线上的点到角两边的距离相等。

角平分线常用的辅助线方法：

(1)截取与全等

如下左图所示，OC为∠AOB的角平分线，D为OC上的点，F为OB上的点。如果在OA上取一点E，令OE=OF，连接DE，则有△OED≌△OFD，这就为我们证明线段和角度相等创造了条件。

例如：如上右图，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，E点在AD上，验证：BC=AB+CD。

提示：取BC上的一点F，使BF=BA并连接EF。

(2)从角平分线上的点向角两侧画垂线，使其全等

利用角平分线上的点到两边的距离相等的性质来证明该问题。

如下左图所示，过∠AOB平分线OC上的点D到角OA、OB两侧画垂线。垂直脚是E和F，连接DE和DF。则有：DE=DF，△OED≌△OFD。

例如：如上右图所示，已知AB>AD，∠BAC=∠FAC，CD=BC。验证：∠ADC+∠B=180

(3) 利用角平分线的垂线构造等腰三角形

如下左图所示，从角一边OB上的一点E，引垂直于角平分线OC的垂线EF，使其与角另一边OA相交，则得等腰三角形（△OEF）切，垂直脚为底上的中点D，角平分线成为底上的中线和高，为了利用中线的性质和等腰三角形三条线的性质一。如果题中存在垂直于角平分线的线段，则将线段延伸与角的另一边相交，从而得到等腰三角形，可以概括为：“延伸垂直分割，等腰回归” 。

例如：如上右图，已知∠BAD=∠DAC，AB>AC，CD⊥AD在D处，H为BC的中点。验证：DH=(AB-AC)

提示：将CD延伸至AB交于E点，可得到全等三角形。问题是可证明的。

(4) 画平行线构造等腰三角形

用平行线构造等腰三角形有两种情况：

①如下左图所示，过角平分线OC的点E是角OA一侧的平行线DE，从而构造等腰三角形ODE。

②如下右图所示，以一边OB上的D点为角平分线OC的平行线DH与另一边AO的反向延长线相交于H点，构成等腰三角形ODH。

2.从线段的和与差思考辅助线

(1) 当要证明一条线段等于另外两条线段之和时，一般的方法是截长补短：

①长度截断：截去一段长线段中与另外两条相等的一段，然后证明剩下的部分与另一条相等；

②短填充：延长一段短线段，延长的部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。通过剪掉长的并填充短的来制作辅助线。

△ABC中，AD平分∠BAC，∠ACB=2∠B，证明：AB=AC+CD。

因为AD是∠BAC的角平分线

所以 ∠BAD=∠CAD

使AB上的AE=AC

AD=AD

来自 SAS：△EAD≌△CAD

所以∠EDA=∠CDA,ED=CD

又因为∠CDA=∠B+∠BAD，∠BDA=∠C+∠CAD，∠C=2∠B

所以∠BDE=∠BDA-∠EDA=(∠C+∠CAD)-∠CDA=(2∠B+CAD)-(∠B+∠BAD)=∠B

所以△BED是等腰三角形

所以EB=ED=CD

所以AB=AE+EB=AC+CD

(2) 证明与线段之和、差有关的不等式，通常与三角形中两条线段之和大于第三边、差小于第三边有关。因此，我们可以想办法用三角形来证明。

利用三角形三边的关系证明线段之间的不等关系时，如果不能直接证明，可以连接两点或延长某条边构成三角形，使出现在三角形中的线段结论是在一个或几个三角形中，然后使用三角形的三条边。不平等关系的证明。

例如：已知如图1-1所示：D、E是△ABC中的两点，验证：AB+AC>BD+DE+CE。

（方法一）证明：延长DE两侧，与AB、AC分别相交于M、N。 △AMN中，AM+AN>MD+DE+NE； (1)

△BDM中，MB+MD>BD； (2)

△CEN中，CN+NE>CE； (3)

由(1)＋(2)＋(3)可得：

AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE

∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC

（方法二）如图1-2所示，延长BD将AC连接至F，延长CE将BF连接至G，则△ABF、△GFC、△GDE中：

AB＋AF＞BD+DG+GF (1)

GF+FC>GE+CE (2)

DG+GE>DE (3)

由(1)＋(2)＋(3)可得：

AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE

∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。

(3)当三角形的外角大于与其相邻的任何内角时，如果不能直接证明，可以连接两点或延长某条边来构造三角形，使得大角为待验证的是在某个三角形的外角位置。 ，小角就在这个三角形的内角位置，然后利用外角定理：

例如：图2-1：已知D是△ABC内的任意一点。验证：∠BDC>∠BAC。

证明1：将BD延伸与AC交于E点，此时∠BDC为△EDC的外角，∴∠BDC>∠DEC，同理，∠DEC>∠BAC，∴∠BDC>∠BAC

证明2：连接AD并延伸BC得F∵∠BDF是△ABD∴∠BDF>∠BAD的外角。类似地，∠CDF>∠CAD∴∠BDF+∠CDF>∠BAD+∠CAD为：∠BDC>∠BAC。

3、从中点思考的辅助线

在三角形中，如果已知一点是三角形一条边的中点，那么首先应该想到三角形中线的重重及其相关性质（等腰三角形底边中线的性质）三角形），然后通过探索，找到问题的解决方案。方法。

(1) 中线将原三角形分成两个面积相等的小三角形。

如图1所示，AD为ΔABC的中线，则SΔABD=SΔACD=1/2SΔABC（因为ΔABD和ΔACD底边相同，高度相同）。

例如，在图2中，在ΔABC中，AD是中心线。将AD延伸到E，使得DE=AD，DF为ΔDCE的中心线。已知ΔABC的面积为2，求：ΔCDF的面积。

(2) 双倍长度中心线

当中点和中线已知后，我们就应该想到双倍中线。由中线的性质可知，一条中线平分中点所在的线段，可以得到一组等边。通过双长中线，可以得到一组等边和平行顶点。角，这样就可以得到一组全等的三角形。如图所示，将AD延伸至E，使AD=AE并连接BE。

4.其他辅助线做法

(1) 延长已知边构造三角形

在一些验证三角形问题中，延长某些两条线段（边）相交形成闭合图形，可以帮助找到更多的相等关系，有助于解决问题。

例如，如图4所示，在△ABC中，AC=BC，∠B=90°，BD为∠ABC的平分线。若A点到直线BD的距离为a，求BE的长度。

将AD和BC延伸至F，

∵∠DAE+∠AED=90°,∠CBE+∠BEC=90°,∠AED=∠BEC,

∴∠DAE=∠CBE,

又∵∠ACF=∠BCE=90°，AC=BC，

∴△ACF≌△BCE,∴BE=AF,

∵∠ABD=∠FBD,∠ADB=∠FDB=90°,BD=BD,

∴△ABD≌△FBD,

∴AD=FD=1/2AF, AD 是

∴BE=2a

（2）连接四边形的对角线，将四边形问题转化为三角形来求解。

例如：图8-1：AB∥CD，AD∥BC。验证：AB=CD。

提示：将其转换为三角形全等来求解。

(3) 连接已知点构造全等三角形

例如：已知：如图10-1所示； AC与BD相交于O点，且AB=DC，AC=BD，验证：∠A=∠D。

提示：连接BC，则△ABC与△DCB全等，故证明∠A = ∠D。

(4)取线段的中点构造全等三角形

例如：图11-1：AB=DC，∠A=∠D。验证：∠ABC=∠DCB。

提示：取AD的中点N，连接NB和NC。取BC的中点M并连接MN来证明三角形全等。

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