“点差法”公式在抛物线中点弦问题中的妙用

“点差法”公式在抛物线中点弦问题中的妙用

“点差法”公式在抛物线中点弦问题中的妙用

圆锥曲线的中点弦问题是高考中常见的题型。是选择题、填空题和回答题中的热门话题。其一般方法是借助二次方程根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式和参数法来求解联立直线和圆锥曲线方程。

如果已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）的坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程中，求出两个方程的差，即可得到与弦的中点和斜率有关的方程，可以大大减少。操作量。我们把这种代点求差的方法称为“散布法”，其一般结论称为散布法公式。本文就抛物线展开法公式在高考中的用处做一些粗浅的探讨，以飨读者。

定理：在抛物线中，若直线与抛物线相交于两点M、N，则该点为弦MN的中点，则弦MN所在直线的斜率为。

证明：假设两点M、N的坐标分别为，则有

，必须

再次。

注：使用该公式的条件是：（1）直线和抛物线有两个不同的交点； (2)直线存在斜率。

同理可以证明，在抛物线中，若直线与抛物线相交于两点M、N，则该点为弦MN的中点，且弦MN所在直线的斜率位于是，那么。

注：使用该公式的条件是：（1）直线和抛物线有两个不同的交点； (2)直线的斜率存在且不为零。

( )

ABCD

解：焦点在轴上。设弦的中点M的坐标为。

从：，

组织：.

( )

A. (>) B. (>) C. (>) D.

解：由此可见，焦点在轴上。设平行弦中点M的坐标为。

从：，

在，那个时候，。

M点的轨迹方程为(>)。

因此答案为A。

例3. (03 上海) 抛物线截取的线段中点坐标为。

解：焦点在轴上。假设弦MN的中点P的坐标为 ，弦MN所在直线的斜率为 ，则可得：

从而。

所需的中点坐标是。

，焦点在轴上，它与直线相交，所得弦的中点在上，求抛物线的方程。

解：假设抛物线的方程为，直线与抛物线的两个交点为M、N，弦MN的中点P的坐标为。

从：，

并将其指向圆圈，

解决办法：或者

从：

直线和抛物线有两个不同的交点，

>0。

m0。

因此，求的抛物线方程为

，求实数的取值范围。

解：设抛物线上的两点A、B关于直线对称，且弦AB的中点为。

根据题意，P点在直线上，，。

再次，，。

由，我们得到：，。

由此，我们得到：

该点在抛物线的开口内，