初中数学：等腰三角形常见的几种辅助线

初中数学：等腰三角形常见的几种辅助线

等腰三角形有 4 条常见的辅助线：

利用等腰三角形的“三线合一”特性，在底面上画中线或高；向腰部画一条平行线，形成一个小等腰，达到传递边角的目的；以底边为一条边，形成等边三角形，连接三个顶点，形成 30 个角；利用旋转作为辅助线来达到变换的目的。下面举4个经典例子进一步说明：【经典例子1】

如下图所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，M为BC边的中点，若MN⊥AC在N点，则MN=。

分析：如下图所示，连接AM。从等腰三角形的“三线合一”，我们得到AM⊥BC。根据毕达哥拉斯定理，我们得到AM=4。利用Rt△AMC中的面积相等法-CM×AM=AC×MN，可得MN=12/5。

【典型示例2】

如下图，在△ABC中，AB=AC，点F在AB上，点E在AC的延长线上，BF=CE，在D处连接EF和BC，验证：D是EF的中点。

分析：过F点画FG∥AE，与BC交于G点，如下图。

易得∠1=∠4=∠B，∴BF=CE=FG。又∵FG∥AE，∴∠3=∠E，∠2=∠5，∴△FGD≌△ECD，∴FD=ED，即D为EF的中点。

【典型实例3】

已知：如下图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80，D是△ABC内的一点，∠DBC=10，∠DCB=30。求 ∠DAB 的度。

分析：以BC为边，向上作等边三角形A＇BC，连接A＇A，如下图所示。

∵ A＇B=A＇C，AB=AC，A＇A 为公共边，∴ △A＇BA≌△A＇CA (SSS)，∴ ∠BA＇A=CA＇A=30。

∵∠A'BA=∠A'BC-∠ABC=60-50=10，∴∠A'BA=∠DBC。 ∵∠BAC=80, ∴∠A'AB=∠A'AC=140,

又A＇B=BC，∴△A＇BA≌△CBD（AAS），∴AB=DB，即△BAD是等腰三角形。且∵∠ABD=40，∴∠DAB=∠BDA=70。

【典型实例4】

如下图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90，AB=AC，D为BC边缘上的任意点。验证：2AD^2=BD^2+CD^2。

分析：证明2AD^2=BD^2+CD^2，即证明(√2AD)^2=BD^2+CD^2。因此，可以考虑将√2AD、BD、CD转移到同一个直角三角形中。可以这样做：以A点为中心逆时针旋转△ABD 90，连接DE，如下图所示。

那么△ABD≌△ACE，很容易证明△ADE是等腰直角三角形，∴BD=CE，∠B=∠ACE，∴∠DCE=∠BCA+∠ACE=90，在Rt△BEC，DE^ 2=DC ^2+EC ^2 ，且∵ DE=√2AD，∴(√2AD)^2=BD^2+CD^2，即2AD^2=BD^2+CD^2。

反思：“等线段有共同端点”是全等旋转的前提，等腰三角形天生就具备这个条件。因此，通过旋转制作辅助线也是等腰三角形的常用方法。

注：这里仅列出近年来考试中最常见的四种情况。等腰三角形的辅助线不止这些，还有像双长、一腰构造直角三角形之类的，就不一一赘述了。