初二数学：关于等腰三角形分割的探究

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写在前面

众所周知，“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”这一性质非常重要，可以用来解决很多问题。然而，我们常常忽略了这条中线将直角三角形分成了两个等腰三角形。本讲座将进一步研究等腰三角形的分割。

一。分割等腰三角形

实施例1

通过等腰三角形的顶点画一条直线。如果分成的两个较小的三角形也是等腰三角形，求原等腰三角形的顶角。

分析

显然，我们需要进行分类讨论。首先考虑从哪个顶点开始绘制直线。假设在△ABC中，AB=AC，我们可以通过顶点A画一条直线，也可以通过最下面的顶点B画一条直线（通过顶点C的情况与通过顶点B的情况相同） b)、即初步分为两种情况。

如果我们从顶点A开始，如下图所示，有多少种可能？

我们不妨做一张桌子。如果△ABD是等腰三角形，那么三条边中，考虑到任意两条边都可以相等，则存在三种情况。在此基础上，如果△ADC也是等腰三角形，则每种情况都有3种情况，所以总共有9种情况。

同样，从底角顶点B开始，也有9种情况，列表如下。即一共有18种情况。

同学们一定在想，这18种情况是不是太复杂了？事实上，有些情况是不可能的，有些情况是重复的。我们来一一分析。在这里，显然我们可以用方程来基于“等角对边”来思考。假设原始等腰三角形的两个底角是∠ABC 和∠ACB=x°。

回答

(1) 以顶点A为起点，△ABD是等腰三角形

（1）AB=AD，这显然是不可能的。此时D点与C点重合，无需考虑△ADC的情况。

(2)AD=BD,

那么∠B=∠BAD=x°，

∠ADC=2x°，设△ADC为等腰三角形，

AD=AC显然是不可能的，

只剩下两种情况了：

①AD=DC，∠DAC=x°，4x°=180°，x=45，∠BAC=2x°=90°

②交流=直流，

∠DAC=2x°，

5x°=180°,

x=36，

∠BAC＝3x°＝108°

（AC=DC是不可能的，这时候AB=AC=BD=CD，即AB+AC=BD+CD，就会出现AB+AC=BC，不符合三边关系一个三角形）

回答

(2) 以底角顶点B为起点，△ABD是等腰三角形

(1)AB=AD，这也是不可能的。此时D点与C点重合，无需考虑△BDC的情况。

(2)AD=BD,

则∠A=∠ABD=180°-2x°，

为保证△BDC为等腰三角形，

BD=DC显然是不可能的，

只剩下两种情况了：

①BD=BC，∠BDC=360°-4x°，360°-4x°=x°，x=72，∠BAC=180°-2x=36°

(3)AB=BD,

∠BDA＝∠A＝180°-2x°，

∠BDC=2x°，

那么BD=BC，这是不可能的，底角不相等；

BC=DC也是不可能的，

此时∠DBC＝2x°＞∠ABC

其中，顶角为36°的等腰三角形，底长与腰长之比约为0.618。对于顶角为108°的等腰三角形，腰长与底长之比约为0.618，符合黄金分割。因此得名“金三角”！

二。分割任意三角形

实施例2

如果通过三角形顶点A的一条直线可以将△ABC分成两个等腰三角形，尝试探索原三角形中两个角之间最简单的数量关系。

分析

这道题应该和例1中的第一种情况类似，这9种情况将分别讨论，但需要注意的是，在省略的情况下，必须注意角度的计算。由于篇幅限制，仅给出分段。有任何疑问可以在后台回复。

回答

如果AB=AD

如果AD=BD

若AB=BD

总结

三。中考真题再现

实施例3

(2007年无锡市中考第29题)

(1) 已知在△ABC中，∠A=90°，∠B=67.5°。请画一条直线将这个三角形分成两个等腰三角形。 （请使用下面给出的备用图来画出所有不同的划分方法。只画图而不给出理由，但在图中标出两个等角的尺寸）

(2) 已知△ABC中，∠C是它的最小内角。通过顶点 B 的直线将这个三角形分成两个等腰三角形。请探究∠ABC 与∠C 之间的关系。

回答

(1) 由于这是直角三角形且∠B=67.5°，则∠C=22.5°且∠B=3∠C，因此必然有两种划分。

回答

本次讲座需要思考的问题：

已知△ABC的三边长分别为3、4、6。在△ABC所在平面上画一条直线。将△ABC分成两个三角形，使其中一个成为等腰三角形。那么这样一条直线最多可以画出一条。

答案将在下一期中找到！

附：第八讲问题解答

（2013年河南省中考15题）

如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4。 E点是BC边上的一点。连接AE。沿 AE 折叠 ∠B，使 B 点落在 B' 点。当△CEB'为直角三角形时，BE的长度为_____

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