【初二数学专题】等腰三角形之三线合一的运用

【初二数学专题】等腰三角形之三线合一的运用

春天终于来了，虽然花还没开

今年新型冠状病毒疫情来势汹汹

但在全国人民的努力下

已得到有效控制

现在越来越多的老师加入到网课的行列

每天上网课的小可爱们

你的眼睛还好吗？

一定要多做眼保健操

保护视力~

快来跟名师学习吧！

你不知道的等腰三角形三条线的用途

观看视频

总结：

边相等（例如：AB=AC）

角平分线（例如：AD 平分∠BAC 或∠BAD=∠CAD）

中点（例如：D是BC的中点或BD=CD）

垂直（例如：AD⊥BC）

上述“四个条件”，如果看到其中的“任意两个”，就会想到等腰三角形的“三线合一”，缩写为：“知二推二”。

小名师说

所有难题都是从原来的定理、性质和模型开始的，也就是说，它们保持不变。很多问题都是换汤不换药引起的，那么今天名师就教大家如何透过汤看药——等腰三角形三条线的统一的变化运用。

经典示例展示

【例】如图所示，在△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，D为AC上的点，AE⊥BD的延长线与BD交于E点，则AE=1/2BD。验证：BD 是 ABC 的角平分线。

例题思路分析

问题问：BD是∠ABC的角平分线。

问题中的关键条件：AE⊥BD。

由上可知：假设结论成立，则BD既是三角形的高，又是角平分线。

由此联想可知：这与等三角形的三条线连为一体的性质完全一致。

那么问题来了：这个等腰三角形的顶角是多少？哪一个是最下面的呢？

根据图形回答：∠ABC是等腰三角形的顶角，AE是底角的一部分。

因此，作图方法就很明显了：延长AE和BC交于F点，则△ABF是等腰三角形。

证明方法：先证明△ACF≌△BCD，得AF=BD。易得AE=1/2AF，即E为AF的中点，故△ABF为等腰三角形，故BD为∠ABC的角平分线。证明（等腰三角形三条线并集的性质）。

详细解答步骤

好吧，跟小明老师学完这个例子后，

你可以尝试以下的变式练习~

【变异练习】如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC和CD⊥AD。证明：∠ACD=∠ABC+∠C

如果您不明白，可以观看下面的视频

专项练习

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为线段BC上的一点，∠EDB=1/2∠C，BE⊥DE，垂脚为E，且DE 和 AB 相交于 F。

(1)如图①所示，当C、D重合时，试探究线段BE与FD之间的数量关系，并加以证明。 （提示：延长 CA 和 BE）

（2）如图②所示，当D点是与B、C点不同的线段BC上的任意一点，且其他条件不变时，①中的结论是否仍然成立？请解释原因。