三角形及其性质（基础）知识讲解

三角形及其性质（基础）知识讲解

【学习目标】

1.了解三角形及与三角形相关的概念，掌握其文字、符号语言和图形表达方法。

2.了解三角形内角和定理的证明方法；

3.根据边和角掌握三角形并分类

4. 理解并能够应用三角形三边之间的关系。

5. 了解三角形的高、中线和角平分线的概念，并学习如何绘制它们。

【要点总结】

第1点. 三角形的定义

由不在同一直线上且首尾相连的三段线段组成的图形称为三角形。

重点说明：

(1)三角形的基本要素：

①三角形的三条边：组成三角形的线段；

②三角形的角：相邻两条边所成的角称为三角形的内角，或简称三角形的角；

③三角形的顶点：相邻两条边的公共端点。

（2）三角形的定义有三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾相连”。

(3)三角形的表示：三角形用符号“△”表示。顶点为A、B、C的三角形记为“△ABC”，读作“三角形ABC”。注意，单个△没有任何意义； △ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC表示，也可以用小写字母a、b、c表示。边BC由a表示，边AC和AB分别由b和c表示。

第2点：三角形内角和

三角形内角和定理：三角形内角和是180°。

要点：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：

①在三角形中，如果已知任意两个角的尺寸，则可以求出第三个角的尺寸；

②知道三角形三个内角的关系，就可以求出内角的度数；

③求三角形内角之间的关系。

第3点.三角形的分类

【HD类：与三角形相关的线段三角形的分类】

1、按角度分类：

要点解释：

①锐角三角形：三个内角均为锐角的三角形；

②钝角三角形：内角为钝角的三角形。

2、按侧面分类：

要点解释：

① 不等边三角形：三边不相等的三角形；

②等腰三角形：两条边相等的三角形称为等腰三角形。两条相等的边称为腰部，另一条边称为底角，两腰部之间的角度称为顶角，腰部与底边之间的角度称为底角；

③等边三角形：三边相等的三角形。

第4点.三角形三边之间的关系

定理：三角形任意两条边的和都大于第三条边。

推论：三角形任意两条边之差都小于第三条边。

重点说明：

(1)理论依据：两点之间的最短线段。

(2)三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形。如果两条较短线段的长度之和大于最长线段的长度，则这三条线段可以形成一个三角形；否则，它们不能形成三角形。当三角形的两条边的长度已知时，就可以求出第三条边的长度的取值范围。

(3)证明线段之间的不等关系。

第5点：三角形的三个重要线段

三角形的高、中线和角平分线是三角形中三个重要的线段。它们提供了线段或角度之间的重要关系，对我们今后深入研究三角形的一些特性起到非常有帮助的作用。因此，我们需要从不同的角度来弄清楚这三个线段。名单如下：

线段名称

三角形的高

三角形的中线

三角形的角平分线

书面语言

从三角形的一个顶点到其对边所在的直线作垂线，以及该顶点与垂脚之间的线段。

在三角形中，连接顶点和对边中点的线段。

三角形内角的平分线与其对边相交，以及该角的顶点与交点之间的线段。

图形语言

绘画语言

通过A点，画AD⊥BC至D点。

取BC边的中点D并连接AD。

画∠BAC的平分线AD并与BC相交于D点。

标签图形

符号语言

1． AD为△ABC的高度。

2、AD为△ABC的BC边的高度。

3.AD⊥BC在D点。

4. ∠ADC=90°，∠ADB=90°。

（或∠ADC = ∠ADB = 90°）

1． AD为△ABC的中线。

2、AD是△ABC的BC边的中线。

3.BD=DC=BC

4、D点为BC边的中点。

1． AD是△ABC的角平分线。

2. AD 平分∠BAC 并与 BC 相交于 D 点。

3. ∠1＝∠2＝∠BAC。

推理语言

因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC。

（或∠ADB=∠ADC=90°）

由于AD是△ABC的中线，所以BD=DC=BC。

由于AD平分∠BAC，所以∠1=∠2=∠BAC。

使用示例

1．线段是垂直的。

2. 角度相等。

1．线段相等。

2. 面积相等。

角度相等。

注意事项

1．它与侧面的垂直线不同。

2. 不一定在三角形内。

—

它与角平分线不同。

重要特征

三角形的三个高度（或其延长线）相交于一点。

三角形有三条中线，三条中线相交于三角形内部的一点。

三角形具有三个角平分线，它们相交于三角形内部的一点。

【典型例子】

类型 1. 三角形的内角和

1．证明：三角形的内角和是180°。

【解答与分析】

解：已知：如图所示，已知△ABC，验证：∠A+∠B+∠C=180°。

证明1：如图1所示，将BC延伸至E，得CD∥AB。因为AB∥CD（已经做好了），∠1=∠A（两条直线平行且内角相等），∠B=∠2（两条直线平行且内角相等）。

且∠ACB+∠1+∠2=180°（方角定义），

所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等价替换）。

证明2：如图2所示，取BC边上的任意点D，画DE∥AB，与AC交于E，DF∥AC，与AB相交于F。

因为DF∥AC（制造），

所以∠1=∠C（两条直线平行且角度相同），

∠2=∠DEC（两条直线平行且内偏角相等）。

因为DE∥AB（已经做了）。

所以∠3=∠B，∠DEC=∠A（两条直线平行且角度相等）。

所以∠A=∠2（等价替换）。

且∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），

所以∠A+∠B+∠C=180°（等价替换）。

2、在△ABC中，已知∠A+∠B=80°，∠C=2∠B。尝试求 ∠A、∠B 和 ∠C 的度数。

【思路提示】题中给出了两个条件：∠A+∠B=80°，∠C=2∠B，然后根据三角形内角和等于180°，即∠ A+∠B+∠C=180° 可计算求出∠A、∠B、∠C 的度数。

【解答与分析】

解：由 ∠A+∠B=80° 和 ∠A+∠B+∠C=180°，

我们知道∠C=100°。

且∵∠C＝2∠B，

∴∠B＝50°．

∴∠A＝80°-∠B＝80°-50°＝30°．

【总结与升华】回答这个问题的关键是利用隐式条件∠A+∠B+∠C=180°。这个问题可以通过假设∠B=x，然后∠A=80°-x，∠C=2x来解决。

【高清课堂：三角形相关角举例1.】

举一反三：

【变式】已知，如图所示，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD为边AC的高度。求 ∠DBC 的度。

【回答】

解：已知在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A

令 ∠A=x

那么∠C=∠ABC=2x

x+2x+2x=180°

解：x=36°

∴∠C=2x=72°

△BDC中，BD为AC边的高度，

∴∠BDC=90°

∴∠DBC=180°-90°-72°=18°

类型2.三角形的分类

3. 三角形的三个内角分别是75°、30°和75°。这个三角形是( )

A 锐角三角形 B 等腰三角形 C 等腰锐角三角形

【答案】C

举一反三

【变体】在三角形中，一个内角的大小等于另外两个内角之和的两倍。这个三角形是 ( ) 三角形

A 锐角 B 直角 C 钝角 D 无法确定

【答案】C

【分析】利用三角形内角和为180°的事实以及已知条件，可得较大内角的度数为120°，故该三角形为钝角三角形。

类型3、三角形三边关系

4、（四川南充）三根木杆的长度如图所示。能组成三角形的是( )

【思路提示】三角形三边关系的性质，即三角形任意两条边之和大于第三条边，任意两条边之差小于第三条边。注意，这里的“两侧”是指任意两侧。 “两侧之差”可以是正数，也可以是负数。一般取“差”的绝对值。

【答案】D

【分析】构成一个三角形。必须满足任意两条边之和大于第三条边。使用时，习惯检查两条短边之和是否大于第三条边。 A、B、C这三个选项中，两条较短边的和小于或等于第三条边。因此，不能形成三角形。选项D中，2cm+3cm>4cm。因此，可以形成一个三角形。

【总结与升华】判断能否以三条线段为边构成三角形的简单方法是： 1、确定较长的边； 2. 看看两条短边之和是否大于长边。如果大于两条短边之和，则可以形成三角形，如果不大于则不能形成三角形。

举一反三：

【变例】判断（2015·泉州）已知，在△ABC中，AB=6，BC=4，则边AC的长度可能是下列哪个值（）

一个。 11B。 5C。 2D。 1

【答案】B．

解：根据三角形三边的关系，

6﹣4＜AC＜6+4，

即2＜AC＜10，

符合资格的人只有5人。

故选：B.

5、若三角形两条边的长度分别为2和7，则第三边长c的范围为。

【回答】

【解析】三角形两条边的长度分别为2和7，则第三条边长c的取值范围为│2-7│

【总结与升华】如果三角形的两条边是a和b，那么第三条边c的取值范围是│ab│

举一反三：

【变体】（浙江金华）已知三角形两条边的长度分别是4和8，那么第三条边的长度可以是（只写1）

【答案】5.注意：答案并不唯一。填写大于 4 且小于 12 的任何数字。所有数字都是正确的。

类型 4. 三角形中的重要线段

6.（2016年春季·江苏月考）在△ABC中画出AC边的高度。下面四张图中正确的画法是（）

一个。

B．

C.

D .

【答案】C；

【总结与升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都具有三个高度，以及三个高度相交于一点的直线。这里必须注意的是，钝角三角形的两个高都在三角形的外面。

举一反三：

【变体】如图所示，给定△ABC，尝试画出△ABC各边的高度。

【回答】

解：所画三角形的高如图所示。

7、如图所示，CD是△ABC的AB边的中线。 △BCD的周长比△ACD的周长长3cm。 BC=8厘米。求AC边的长度。

【思路】根据题意并结合图形，有如下数量关系：①AD=BD，②周长比△BCD

△ACD的周长较大3.

【解答与分析】

解：根据题意：△BCD的周长比△ACD的周长长3cm。

因此：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)=3。

而∵CD是△ABCAB边的中线，

∴AD=BD，即BC-AC=3。

且∵BC=8，∴AC=5。

答：AC的长度是5cm。

【总结与升华】利用三角形中线的定义得到线段AD=BD是回答这个问题的关键。另外，观察图中线段的位置，找出它们之间的联系。这种数字和形状组合的数学思想是解决几何问题的常用方法。

举一反三：

【变体】如图所示，△ABC中，D、E分别为BC、AD的中点，且

，但

为了。

【答案】1