第03讲 利用等腰三角形的“三线合一”作辅助线及构造等腰三角形

第03讲 利用等腰三角形的“三线合一”作辅助线及构造等腰三角形

第 03 讲 以等腰三角形的“三线合一”为辅助线，构建等腰三角形（拓展和改进）思维导图 1.等腰三角形的性质 （1） 等腰三角形的性质 1：等腰三角形的两个底角相等（缩写：等边到等边） （2） 等腰三角形的性质 2：等腰三角形的顶角、底边的中线和底边的高度的平分线相互重合（缩写： 等腰三角形的三条线合二为一） 1.在腰部或底部制作平行线以构建新的等腰（侧面）三角形2。用倍增关系构造一个新的等腰三角形测试中心分析测试点 1，当等腰三角形的底边有中点时，连接中线示例：已知,,,中点的中点是中点的中点，使射线和射线分别相交， 在点上， .（1）如图1所示，当点在线段上时，线段数与线段数的关系为;（2） 如图 2 所示，当点位于线段的延长线上时，线段与线段之间的定量关系由方程表示并得到证明。【分析】（1）连接，∵，，点是∴的中点，并且，平分∴，∵∴∴∴（ASA）∴.（2），原因如下：连接，从（1）可以知道：,,,∴在and，∴（ASA），∴，∵，∴.[变体训练]1.As 如图所示，中间的,,,F是边上的中点，点D和E分别在边上移动并保持。连接，则面积的最大值为。【答案】【分析】如图所示，连接，∵是,,,点的中点，F是中点，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵是固定值，∴面积最大，则面积最小，∵，,,,∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形， 那么当最小时，面积最小，此时最小，此时∴。（1）如果双方分别交接，在，两点。如图 1 所示，当点分别位于 edge 和 on 时，验证以下内容;（2） 如图 2 所示，如果、当点分别在延长线上和连接时，如果、则;（3）如图 3 所示，如果，两侧分别相交，则相交的延长线为 in、、if，以及 try 的长度。【分析】（1）证明如下：如图所示，连接、∵、点为中点、∴,,,∴、∴、∴、∴;（2）解决方法：如图所示，连接、∵、点为中点、∴,,,∴、∴、∴、∴、∴，所以答案为：18。（3）解决方法：如图所示，连接，做点，交点的延长线在点上，∵，点是中点，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴。（1）验证：BD=CE;（2） 如果 AD=BD=DE=CE，求 ∠BAE 的度数。【分析】（1） 证明：如图所示，A点是AF⊥BC在F.∵AB=AC，AD=AE.∴BF=CF，DF=EF，∴BD=CE。（2）∵AD=DE=AE， ∴△ADE是一个等边三角形，∴∠DAE=∠ADE=60°.∵AD=BD，∴∠DAB=∠DBA.∴∠DAB∠ADE=30°.∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°.【变体训练】1.边缘上的点 C，边缘上的点 D、E（如果很长）。【分析】如图所示，它是在,,,,中制成的,,,,,.2.It 在 in 和 = 中已知。（1） 如图 1 所示，如果它是全等的，则 =（由包含的代数公式表示）;（2） 如图 2 所示，如果是互补的，则在该点处提出点，并得到验证：（3） 如果 和 的面积相等，则与满意度有什么关系？请直接写下您的结论。（2） 如图所示，通过点在 E 点，,,,, 为 ,,,,=，。在和,,,,∴≌，∴，∴.（3）（1）如图所示，∵的面积等于∴的面积，面积等于 ，∵，∴≌（HL）的面积∴即=（2）如图所示，垂直于延长线的延长线在。则.∵，，∴，∵ 且面积相等，∴.∴≌.∴.，总而言之，∴，等于或互补。测试点3、巧妙地使用“角平分线+垂线统一”构造一个等腰三角形实例：如图：（1） 【问题情境】用角平分线构造一个全等三角形是一种常见的方法，如图1所示。点 A 是前一点，穿过点 A，垂直脚是 C，延伸在点 B，根据证明，（即点 C 是中点）。（2） [类比答案] 如图 2 所示，中间是 ，在 E 中，如果 ， ，通过上述构造全等的方法，就可以得到。（3） [扩展延伸] 如图 3 所示，中间的 ,,, 被平分，垂直的脚 E 在延长线上，试着探究和之间的数量关系，证明你的结论。（4）【实际应用】图4是一块肥沃的三角形土地，其中边紧邻灌溉渠，李大爷想在这片土地上画一个直角三角形的土地做水稻实验，所以进行如下操作：（1）用量角器取的角平分线;（2） 如果已知交叉点 A 的面积为 20，那么划定的面积是多少？请直接写下答案。【分析】（1） ∵ 2、∴、∵、∴、∵、∴ （） 、∴，所以答案是：（2） 如图 2 所示，扩展在 F 点相交，从（1）可以看出，∴、∵、∴，所以答案是：（3） 证明如下：如图 3 所示，扩展