每周一练 | 与等腰三角形有关的结论

每周一练 | 与等腰三角形有关的结论

等腰三角形是一种特殊且非常重要的三角形。除了我们在课本上学到的性质外，它还有很多特殊的结论。等腰三角形的共同结论总结如下。

1、等腰三角形的两个底角平分线相等，两腰中线相等，两腰高相等。

例1（教材P83题13）等腰三角形的两个底角的平分线相等吗？两腰的中线呢？那么腰部以上的高度呢？证明结论之一。

思路：先写出命题已知并已验证的条件和结论，画出图形，然后根据等腰三角形的性质和全等三角形的判断和性质进行证明。

图1

以上结论都是有效的。若等腰三角形两个底角的平分线相等，则证明如下：

已知：如图1所示，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB。证明：BD=CE。

证明：因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB。

由于 BD 平分 ∠ABC，CE 平分 ∠ACB，所以 ∠DBC=

∠ABC, ∠ECB=

∠ACB。

所以∠DBC=∠BCE。

在△EBC和△DCB中，∠EBC=∠DCB，BC=CB，∠ECB=∠DBC，所以△EBC≌△DCB（ASA）。所以BD=CE。

因此，等腰三角形的两个底角的平分线相等。

2、等腰三角形底边中线（高）上一点到两腰部的距离相等。

例2 已知：如图2所示，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边的中线，P为AD上的一点，PE⊥AB，PF⊥AC。验证：PE=PF。

图2

思路建议：结合已知条件，由等腰三角形的“三线合一”性质，可知AD是∠BAC的平分线。根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可以证明PE=PF。

3、等腰三角形的一腰高与底边的夹角等于顶角的一半。

例3 已知：如图3所示，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D点，验证：∠DBC＝

∠BAC。

图3

思路：如图3所示，在E点画AE⊥BC，结合已知条件，由等腰三角形“三线合一”的性质，可得AE平分∠BAC，故∠BAE =∠EAC=

∠BAC。由于同角的补角相等，所以得到∠DBC=∠EAC。所以∠DBC=

∠BAC。

思考：如果等腰三角形ABC是钝角三角形，上面的结论还成立吗？请学生探索。

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