浅谈等腰三角形“三线合一”性质的应用

浅谈等腰三角形“三线合一”性质的应用

理论前沿 · 30 · 浅谈等腰三角形“三线合一”性质的应用 四川省简阳市付晓辉嘉中中学 四川省简阳市 摘要：等腰三角形“三线合一”性质的应用等腰三角形在初中平面几何证明题中发挥着重要作用。加强对这一性质的掌握和运用，可以提高解决问题的能力。本文讨论其应用。关键词：等腰三角形；三行合一；产权申请 CLC 号：G633.6 文件识别码：A 文章编号：1671-5691(2017)9-0030-01 等腰三角形 “三线合一”是指底边、中线、角度上的三条线平分线与高度重合，称为“三线合一”。等腰三角形的这个性质在初中数学的应用中起着非常重要的作用，它的逆定理也非常重要。掌握这些性质定理对于提高数学几何问题解决能力有很大帮助。因此，教师应加强这一性质的应用教学，将其与数学约简思想的应用结合起来，有利于学生提高数学解决问题的能力。有助于提高学生的思维能力和利用这一属性解决问题的能力。 1、利用等腰三角形的“三线合一”性质，推导出其反定理。等腰三角形“三线合一”性质的逆定理在解决数学问题时也非常重要。不过课本上并没有直接给出，所以需要你自己证明。 。其内容是：（1）三角形中任意角的平分线与其对边的中线重合，则该三角形是等腰三角形； （2）如果三角形中任意角的平分线与其对边的中线重合，则该三角形是等腰三角形； (3) 若三角形任意一边的中线与该边的高重合，则该三角形是等腰三角形。

上述内容可以概括为：如果三角形中的任意两条线合二为一，则可以推断该三角形是等腰三角形。证明如下： 例1、在ΔABC中，已知AD是∠BAC的平分线，AD是BC边的中线。证明：ΔABC 是等腰三角形。分析：如果证明三角形是等腰三角形，则需要证明AB=AC。这题不满足证明三角形全等的条件，所以应该用另一种方式来证明。这可以通过添加辅助线来证明。将AD延伸至E点，使AD=DE，并连接CE。在 ΔABD 和 ΔECD 中，∵AD=DE、∠ADB=∠CDE、CD=BD、∴ΔABD≌ΔECD、∴AB=EC、∠BAD=∠CED、∵∠BAD=∠CAD、∴∠CED=∠CAD ， ∴AC=CE, ∴AB=AC, ∴ΔABC 是等腰三角形。本题以逆定理(2)为例进行证明，其逆定理在其他情况下也可以证明成立。 2、等腰三角形“三线合一”性质在辅助线教学中的应用。在解决平面几何问题时，我们经常会遇到一些问题。如果很难直接证明或回答，这时候，如果我们使用辅助线法，可以让问题变得更容易解决，从而提高解题效率。等腰三角形的“三线合一”性质定理及其逆定理广泛应用于平面几何辅助线的教学中。例2、在ΔABC中，已知∠A=90°，AB=AC，BD为∠ABC的平分线，经C点画出BD的延长线至E点，CE⊥BD。

验证：BD=2CE。分析：本题给出的已知条件中，有角平分线和垂线。如果两条直线BA和CE延长并交于F点，则可以形成一个大三角形FBC。在ΔFBC中可以利用等腰三角形的“三线合一”性质得到CE=EF，即CF=2CE。如果要证明BD=2CE，只要能证明BD=CF就可以回答这个问题。利用等腰三角形“三线合一”的性质，巧妙地引入辅助线，问题就变得简单易解。证明过程如下：使BA和CE的延长线分别交于F点。 ΔBEF和ΔBEC中，有：∵∠FBE=∠CBE、BE=BE、∠BEF=∠BEC=90°、∴ΔBEF≌ΔBEC（ASA）、∴EF=EC，即CF=2CE。 ∵∠FBE+∠F=90°，∠FCA+∠F=90°，∴∠FBE=∠FCA。在 ΔABD 和 ΔACF 中，∵∠FBE =∠FCA，AB=AC，∠BAC=∠CAF=90°，∴ΔABD≌ΔACF (ASA)，∴BD =CF，∴BD =2CE。 3 等腰三角形“三线合一”性质在各类题型中的应用 等腰三角形“三线合一”性质及其逆定理也广泛应用于解决平面几何中的各类题型。

利用这些性质，可以证明： (1) 可以证明两条线段相等； (2) 可以证明两条线段互相垂直； （3）可以证明角度（角平分线）之间的关系是一倍半； （4）可以证明两条线段是半倍关系（中心线）； （5）证明一个角是直角（高）； (6)证明线段的和差关系。下面以式(6)为例说明其应用。例3 已知ΔABC中，AD⊥BC在D点，且∠ABC=2∠C。证明：CD=AB+BD。分析：本题可以通过证明三角形是等腰三角形，然后根据两腰相等或中线性质证明线段相等来证明。证明过程如下：以A点为圆心，以AB为半径画一个圆。圆弧与CD 相交于E 点并连接AE。 ∵AB和AE都是圆的半径，∴AB=AE，∴∠AEB=∠ABC，∵AD⊥BC，∴ΔABE是等腰三角形，∴AD是BE的中线，即DB=DE，且∵∠ABC=2∠C，∴∠AEB=2∠C，∵∠AEB=∠CAE+∠C，∴∠CAE=∠C，∴CE=AE=AB，∴CD=AB+BD。总之，等腰三角形的“三线合一”性质及其反定理在解决初中平面几何问题中具有重要的应用。灵活运用这些性质可以为学生提供简单、快捷的解决问题的方法。通过利用辅助线的方法，对复杂问题进行变换，也体现了数学变换的思想，对于提高学生的数学思维能力有很大帮助。参考文献[1]童胜海． 《等腰三角形》教学设计与分析[J].教育实践与研究（B）。 2010(06) [2] 高树杰.等腰三角形的分类探讨[J]．科技冯.2011(22)EDCBA 图1 图2 EDCA 图3 B