【种花家务·几何】1-2-09三角形全等的判定『数理化自学丛书6677版』

【种花家务·几何】1-2-09三角形全等的判定『数理化自学丛书6677版』

【阅读前提醒】本文来自《数理化自学丛书第6677版》。本系列是1963年至1966年出版的《数理化自学丛书》的基础自学教材，1977年正式再版。该系列图书共17册。水平大致相当于现在的初中水平。它最大的特点就是可以“自学”。当然，由于本书是半个多世纪前的教材，很多概念与今天有很大不同，所以不建议没有基础知识的学生直接拿来自学。不过这套书很适合像我这样受过基础教育但基础不够扎实需要自己重新学习查漏补缺的学生。另外，黑字是教材原文，彩色字是我写的注释。

【山语】我在《自学系列》系列原有17册的基础上，又增加了八五民教A级教材的《初等微积分》。原因有二：第一，我是双鱼座，我确定自己有一定程度的双重综合症，但是《自学系列》里的4卷代数和5卷几何实在让我很困扰，所以我需要增加一本代数书，使两边对偶平衡；其次，我认为《初等微积分》这本书对于“未来的大学生”来说非常重要。以我的惨痛教训为例。大一第一堂高数课，我就直接被骗了，学会了孤独。另外，大学物理的前提是要有基础的微积分知识，所以我就读的学校的大学物理课程推迟了；而比较有活力的大学则直接开课，然后在入门课上集中讲授基础高等数学（例如幼儿园老师田光善树的力学课）。我选择将《初等微积分》这本书加入到“自学系列”的17本书中，只是希望朋友们在上大学之前能读一下它，以免像我一样被高等数学搞得措手不及。曾是。

第 2 章 三角形——全等三角形

§2-9 三角形全等的判定

【01】要判断两个三角形是否全等，可以将一个三角形放在另一个三角形的上面，看看它们是否完全重叠。如果两个三角形的三个顶点都可以重叠，则它们的所有部分都重叠，并且三角形全等。但是，只要两个三角形有某些元素（指三角形的角和边）相等，它们就可以完全重叠，即可以判断它们全等。现在我们需要研究的是，需要多少个元素相等才能使它们完全重合？我们来做如下实验：

【02】取三条纸板条。最长的一条比其他两条条的总和短。用针在纸条两端戳一个小孔（图2·40）。将电线穿入或系在一起形成三角形。

【03】这样，三角形的形状和大小就不会改变：这是三角形独有的性质，通常称为三角形的稳定性，这个性质在工业上有很大的用处。例如屋架、桥梁钢架等都是利用三角形的稳定性来固定的。

【04】如果再取三个与之前相等的纸板条组成一个三角形，它显然与图2.40中的三角形全等。

【05】从实验中可以看出，两个三角形全等，只要三边相等即可。

【06】如果两个三角形只有两条对应边相等，它们能全等吗？我们可以再做如下实验：

【07】取一定长度的纸条l1、l2，分别从其中一个头上的小孔中扎起来（图2.41）。显然，这两条纸条形成的图案并不是固定的，可以有很多。如果我们用虚线来表示三角形的第三条边，我们可以形成无数个两条边相等的三角形，但它们都不全等（除非第三条边也相等）。这个实验告诉我们，如果两个三角形只有两条对应边相等，它们不一定全等（大多数情况下它们是不全等的）。

【08】但是，如果加上上述条件（两边长度不变）并指定其角度的大小，例如∠1（图2.41），则得到的图形将是固定的。然后用虚线代表它的第三边。事实上，第三条边的长度也由 l₁、l2 和角度 ∠1 指定。从第二个实验我们知道，如果两个三角形的两条边以及这两条边之间的角度相应相等，则这两个三角形也全等。

【09】现在提一个问题，如果两个三角形有两个角，且两个角的包边相等，它们能全等吗？这个问题让读者可以从实验中得出自己的结论。

[10] 如上所述的实验方法对于研究新问题很有用。寻找其初步结论是有用的。但毕竟我们不可能一一实验，所以实验得出的结论的正确性是有限的。因此，三角形全等的判断仍需证明。

1.用三边确定

[11] 由前面的实验，我们可以得到： 三角形全等的判定定理1——三个对应相等边的两个三角形全等。

【已知】在△ABC和△A'B'C'中，AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'（图2·42）。

【验证】△ABC≌△A'B'C'。

【证明】将△A'B'C'移动到图中虚线位置，使两条相等的边A'B'和AB重叠，使点C'和点C分别位于边AB的两侧，连接CC'。

因为AC=AC'，BC=BC'，

所以△ACC'和△BCC'是以CC'为公底的两个等腰三角形。

AB 是连接这两个等腰三角形顶点的线段。

∴△ABC和△ABC'是以直线AB为轴的对称图形（§2-5定理3）。

所以它们全等，即△ABC≌△A'B'C'。

2.用两边和角度来确定

[12] 由前面的实验，我们可以得到： 三角形全等判定定理2——边长相等、角相等的两个三角形全等。

【已知】在△ABC和△A'B'C'中，AB=A'B'，AC=A'C'，∠A=∠A'（图2·43）。

【验证】△ABC≌△A'B'C'。

【证明】将△A'B'C'移动到图中虚线的位置，使两条相等的边A'B'和AB重合，且点C'和点C在边AB的两侧。

以AB为轴，在△ABC上折叠△ABC'，

∵△∠BAC＝∠BAC，AC＝AC'，

∴C'点与C点重合，可见△ABC'完全叠加在△ABC上，所以△ABC和△ABC'全等。

即△ABC≌△A'B'C'。

3. 使用两个角和包含的边来确定

【13】可得： 三角形全等的判定定理3——内角和包边相等的两个三角形全等。

【已知】在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'，AB=A'B'（图2·44）。

【验证】△ABC≌△A'B'C'。

【证明】将△A'B'C'移至图中虚线位置，使两条相等的边A'B'和AB重合，且点C'和点C在边AB的两侧。

以AB为轴，在△ABC上折叠△ABC'，

∵ ∠BAC＝∠B'A'C', ∠ABC＝∠A'B'C',

即∠BAC=∠BAC'，∠ABC=∠ABC'。

所以AC'落在AC上，BC'落在BC上，但两条直线只能有一个交点。可见C'点必定落在C点上，故△ABC和△ABC'全等。

即△ABC≌△A'B'C'。

【14】因为三角形的内角和等于180°，所以如果两个三角形的两个双角相等，则第三个双角也相等。因此，由该定理可以推出以下推论。推论 - 如果两个角和其中一个角的对边相等，则两个三角形全等。

【15】例如图2·45中的△ABC和△A'B'C'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，AC=A'C'。根据三角形内角和的性质，我们可以知道∠A = ∠A'。这相当于知道两个三角形有两个角且包含边相等，所以△ABC≌△A'B'C'。

【注】前面提到的全等三角形的三个判定定理和一个推论是判定三角形全等的基础。当我们要判断线段和角度相等时，往往是根据两个全等三角形的对应部分来求得结果。

例1 已知AB=CD，BC=DA（图2·46）。证明△ABC≌△CDA。

【分析】由于AC是△ABC和△CDA的公共边，所以可以利用三边相等来判断它们全等。

【证书】

AB=CD，BC=DA（已知），

并且AC=AC（公共端）。

∴△ABC≌△CDA(sss)。

【注】要证明两个三角形全等，可以先在图上的等线段（边）或等角上做相同的“标记”。如图2.46所示，为AB、CD、BC、DA画1或2条细线，表示它们相等，这样可以帮助我们观察图形。第二步是分析它们的一致性条件。在这种情况下，由于公共边条件，它符合三个相应相等边的两个三角形的全等定理。

【注】为了简化描述，我们用符号“s”表示三角形的边，用符号“a”表示三角形的角，用“sss”表示“三条边对应两个相等的三角形全等”； “sas”表示“两个边长相等、角度相等的三角形全等”；“asa”和“aas”分别表示三角形全等判定定理3和推论。

例2 已知直线AD与直线BC相交于O，AO=OD，BO=OC（图2·47）。证明∠A=∠D。

【分析】要证明∠A=∠D，首先要证明△AOB≌△DOC。由题可知∠1和∠2的顶角相等，因此两个三角形两条边的夹角相等且全等。

【证书】

AO=OD，BO=OC（已知）。

又因为直线AD和直线BC相交于O。

∴∠1=∠2（对边顶角相等）。

∴△AOB≌△DOC（SAS）

∴∠A = ∠D（全等三角形对应角相等）。

例3 已知∠A=∠D，AC=DF，∠1=∠2（图2·48）。证明AB=DE。

【分析】AB、DE是两个三角形的对应边。要证明AB=DE，只需证明△ABC≌△DEF即可。由题可知∠3 = ∠4，因为它们是∠1和∠2的邻补角且相等。由此我们可以证明这两个三角形全等。

【证书】

∠A＝∠D，AC＝DF（已知），

且∠1=∠2，AD为直线，

∴∠3=∠4（等角的补角相等）。

∴△ABC≌△DEF（asa）

∴AB=DE（对应边相等）。

例4. 等腰三角形两条边的中线相等。

【已知】在△ABC中，AB=AC，E为AC的中点，F为AB的中点（图2·49）。

【验证】BE=CF。

【分析】BE和CF分别视为△BEC和△CFB。要证明BE=CF，只需证明△BEC≌△CFB即可。因为两个三角形部分重叠，看起来不清晰，所以可以将它们拆开，并排绘制，如上图所示，然后用相同的标记标记它们已知的相等边和角，这样就很容易看到他们有两个方面。角度相应地相等。

【证书】

AB=AC（已知），

∴∠ACB=∠ABC,

这是∠ECB = ∠FBC（等腰三角形的底角相等）的剖分图。

由于E是AC的中点，F是AB的中点，

∴EC=

交流、FB＝

AB,

∴EC=FB（等量的一半也相等）。

BC=BC（公共边），

∴△BEC≌△CFB(sas)。

∴BE=CF（对应边相等）。

这个例子证明等腰三角形两条边的中线相等。

示例 5. 已知 AB // DC、AD // BC（图 2·50）。证明AB=CD，AD=CB。

【分析】在△ABD和△CDB中，要证明AB=CD、AD=CB，只需证明两个三角形全等即可。因为DC // AB，所以∠1 = ∠2； AD//BC，所以 ∠3 = ∠4。而且DB是公共边，求出这两个三角形全等的条件。

【证书】

因为DC//AB（已知），

∴∠1=∠2（平行线的内偏角相等）。

∵ AD//BC（已知），

∴∠3=∠4（平行线的内角相等）。

且DB=DB（公共边），

∴△ABD≌△CDB（asa）

∴AB=CD，AD=CB（对应边相等）。

【注】本例证明中，∠1=∠2是因为AB // DC，∠3=∠4是因为AD//BC。请仔细观察，确保没有错误。

练习2-9

1. 哪两个三角形称为全等三角形？全等三角形的对应角和对应边相等吗？为什么？ 【两个能完全重合的三角形是全等三角形，它们的对应角和对应边相等】

2. 写下你所学过的三角形全等定理。

3、如图所示，已知AD=DB，∠1=∠2。验证△CAD≌△CBD。 [提示：利用公共边]

4、如图所示，已知∠1=∠3，∠2=∠4。证明△ABD≌△CDB。

5、如图所示，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB。证明AC=DB。 【提示：先尝试证明△ABC≌△DCB】

6、如图所示，已知AE=AD，∠1=∠2。证明△ABD≌△ACE。 【提示：注意公共角落】

7、如图所示，已知BC=DF，∠B=∠F，AC//DE。证明△ABC≌△EFD。

8、如图所示，已知∠1=∠2，∠ABC=∠CDA，并证明AB=CD。 【提示：研究∠ABD和∠CDB是否相等】

9、如图所示，已知AD=BC，BD=AC。证明△ADB≌△BCA，∠4=∠3。 【提示：要证明∠4 = ∠3，我们是否可以先证明∠A = ∠B，∠1 = ∠2，两个方程相减即可得到]

10、如图所示，已知AB=AD，∠1=∠2。证明AC平分∠BCD。

11.AB和CD是圆的两个直径。连接它们的端点产生两个和弦 AC 和 BD。证明AC=BD。

12、如图所示，已知AB=AE，BD=CE。证明AD=AC。

【分析：要证明AD=AC，只需证明AD和AC是全等三角形的对应边即可。选择三角形ABD和AEC，并证明它们全等。

证明：在△ABD和△AEC中，AB=AE，BD=EC（已知）。

而在△ABE中，因为AB=AE，

因此，∠B = ∠D（等腰三角形的底角相等），

∴△ABD≌△AEC（SAS），

∴AD=AC（对应边相等）。

如果你选择△ABC和△AED来考虑这个问题，你可以得到另一个证明，请你自己做]

13. 证明等腰三角形的底角平分线相等。

14、如图所示，已知∠B=∠C，BE=CF，AFB和AEC都是直线。证明BF=CE。 【提示：要证明BF=CE，可以先证明AB=AC，AF=AE，然后相减等量即可得到]

15、如图所示，直线AE与CD相交于B，且AC=ED，∠A=∠E。证明AB=EB，OB=DB。 【提示：证明△ABC≌△EBD】

16、如图所示，已知AB=CD，BC=DA。证明AB // CD，BC // AD。

17、线段AC和线段BD在O处互相平分，并连接它们的端点。证明AD=BC，AB=DC。 （注：线段AC和BD在O处平分，即它们的交点O是AC的中点和BD的中点）

18. 该图显示了平分角度的仪器，其中 AB=AD 且 BC=DC。要平分一个角，只需将 A 点放在角的顶点，然后将 AB 和 AD 放在角的两侧即可。那么AE就是角的平分线。尝试证明这个事实。

19. 你可以用弯尺平分一个角。如图所示，先在∠AOB的OA、OB两侧测量相等的线段OP、OQ，然后使直尺两侧刻度相同的点分别与P、Q重合，并在直角尺的顶点M。通过 OM 绘制射线 OC。这样，OC平分∠AOB。为什么？

20.要测量池塘两端A点和B点之间的距离，我们可以使用以下方法。首先，在地面上选取一个可以直接到达A和B的点C，测量AC和BC的长度，然后将AC延伸到D，使得CD=AC；将BC延伸至E，使CE=BC，并连接DE。此时DE=AB。测量DE的长度，即A点和B点之间的距离。为什么？

21*，如图所示，AB=AC。 E是AC延长线上的一点，BF=CE，在M处连接FE到BC。证明MF=ME。

【分析：需要证明相等的两条线段MF和ME分别在△MFB和MEC中，但这两个三角形不能全等。为此，我们绘制辅助线FD，使其与AE平行，并与BC相交于D处，构成△FDM和△ECM。如果能证明△FDM≌△ECM，MF就等于ME。

要证明△FDM≌△ECM，只需证明∠1=∠2、∠DFM=∠E、FD=CE即可。辅助线FD//AE，故它们的内偏角∠1=∠2，∠DFM=∠E。又因为AB=AC，∴∠B=∠ACB，∠ACB=∠FDB（平行线角度相等），∴∠B=∠FDB，即FD=FB。还知道FB=CE，所以FD=EC。至此，可以证明△FDM和△ECM是全等的。

证明留给读者。注意，当我们用全等三角形证明它们的对应角和对应边相等时，如果需要证明的线段或角不在两个全等三角形内，则需要添加辅助线，使线段或角需证明的是两个全等三角形的对应部分]

22*。测量A和B之间的距离。由于我们无法接近A点（如图），所以我们可以在AB线外选取任意点D，在AB延长线上选取任意点E，连接ED和BD ，并将BD扩展到G，使得DG=BD；将 ED 扩展到 F ，使得 DF=ED。连接FG，并将FG延伸至H，使H、D、A在一条直线上，则HG=AB。试证明该测量方法的原理。 【提示：对于这道题，可以先证明△BDE≌△GDF，并得到对应的角度∠EBD=∠FGD，再得到∠ABD=∠HGD，再证明△ABD≌△HGD]

23*。在等边三角形ABC中，AF=BD=CE（如图），验证△DEF也是等边三角形。 【提示：要证明△DEF是等边三角形，即证明DE=EF=FD，只需证明△AFE、△BDF和△CED全等即可】

24*，如图所示，AB=AC，DB=DC。 E是AD延长线上的一点。证明EB=EC。 【提示：先证明△ABD≌△ACD，再证明△ABE≌△ACE或△BDE≌△CDE】