杜宾问题 利用 Koopman 算子理论建立非线性系统线性模型的方法及应用

杜宾问题 利用 Koopman 算子理论建立非线性系统线性模型的方法及应用

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本文目录如下：

目录

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1 概述

实际中的大多数系统都是非线性系统，算子可以描述非线性系统可观状态量在高维空间中的线性演化过程，可以将非线性问题转化为线性问题。对于非线性系统的研究具有较大的价值。利用算子理论，仅依靠实验数据或系统仿真数据就可以建立非线性系统的线性模型。基于该模型，可以实现对非线性系统的分析、预测和控制[6]。

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如图2.1所示，原系统所在空间为R，以非线性方式演化。将原系统通过观测函数g(x)转换到无限维空间H，其中系统通过K线性演化。算子理论的本质是通过原系统的坐标变换实现非线性系统的全局线性化，其中运算符具有无限维数并满足：

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不失一般性，无论对于自治系统还是受控系统，基于算子理论建模的主要目标是将算子（广义算子）近似为有限维矩阵，该矩阵包含了高维非线性系统的特征空间。随着时间的推移线性演化的过程；对于控制系统来说，这个有限维矩阵可以表示高维空间中控制变量对系统演化的影响。

为了识别杜宾汽车模型的非线性动力学，我们使用算子理论首先从系统模拟中提升数据，使用这些提升的数据来识别空间中的线性系统，然后恢复原始动力学的非线性矢量场。您还可以设置并运行汽车模型的模拟。可以在文件的“设置”部分更改此模拟的参数。

使用估计的算子和估计的非线性矢量场，我们需要验证系统辨识的结果。我们从原始汽车模拟中使用的初始条件开始，然后迭代地改进汽车在空间中的动力学。然后使用动力学的增强状态采集（给定有关我们的基函数的知识）恢复非线性系统的状态，然后将我们估计的非线性系统状态序列与系统的实际动力学进行比较。

使用理论识别机器人动力学的非线性系统研究文档

一、简介

实践中大多数系统都是非线性系统，机器人系统也不例外。非线性系统的研究由于其复杂性而具有挑战性，但算子理论为该领域提供了新的视角。算子可以描述非线性系统可观状态量在高维空间中的线性演化过程，从而将非线性问题转化为线性问题，对于非线性系统的研究具有重要价值。

2.理论介绍

该理论的核心思想是通过坐标变换将原来的非线性系统映射到无限维线性空间，使得系统在这个空间中的演化是线性的。这种转换是通过观测函数g(x)来实现的，该函数将原系统的状态空间R映射到新的无限维空间H。在H空间中，系统通过算子K线性演化。

3. 理论在机器人动力学非线性系统辨识中的应用

数据收集和增强

为了识别机器人动力学的非线性系统，首先需要从系统的模拟或实验中收集数据。然后使用这些数据来识别空间中的线性系统。这个过程通常包括数据预处理、特征提取和观测函数的构造。

算子的计算

得到改进后的数据后，下一步就是计算算子。这通常涉及求解线性方程组以找到导致数据在空间中线性演化的算子 K。

非线性矢量场的恢复

一旦获得算子，就可以用它来恢复原始动力学的非线性矢量场。这通常涉及计算观测函数的雅可比行列式，并使用算子的线性表示来求解非线性矢量场。

系统验证与预测

最后，需要验证和预测已识别的系统。这通常涉及将非线性系统的估计状态序列与系统的实际动态进行比较，以评估识别的准确性。此外，所识别的系统可用于未来的预测和控制。

4. 案例研究

为了说明理论在机器人动力学非线性系统辨识中的应用，我们可以考虑一个具体的案例，例如Dubin汽车模型的非线性动力学辨识。在这种情况下，我们可以利用理论从系统模拟中提取数据，然后使用这些数据来识别空间中的线性系统并恢复原始动力学的非线性矢量场。最后，我们可以建立并运行杜宾汽车模型的仿真来验证系统识别的结果。

五、结论与展望

该理论为机器人动力学非线性系统辨识提供了一种新方法。通过坐标变换和线性表示，可以将复杂的非线性系统简化为线性系统，从而便于分析和控制。然而，目前的研究仍然存在一些挑战和局限性，例如观测函数的选择、算子的计算效率和准确性等。未来的研究可以进一步探讨这些问题，并尝试将理论与其他方法结合起来，以提高非线性系统辨识的准确性和效率。

2 运行结果

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主要功能代码：

CLC

全部清除

关闭所有

%% 1. 设置

%

目标.T = 25; ％ 时间

obj.dt = 0.01; ％ 时间

对象。 = [10, -5, 2]; % 模拟

对象。 = 1； % 输入限制

对象。 = 10； % 欧米茄输入限制

obj.种子 = 1; % 输入种子

%% 2. 数据

[t, x, u] = (obj); ％ 车

('',x,0,u,obj,t); % 绘图模拟

%% 3. 电梯数据

[psi_x, psi_y] = (x, u); % 将数据提升到空间

%% 4.-时间

% K = pinv(psi_x) * psi_y; % K（方程式 17）

K = (psi_x,psi_y); % K（方程式 17）

%% 5.-时间

A = 1/obj.dt * logm(K); % A（方程式 18）

%% 6. 场地

% 获取 psi

= [1, 0, 0, 0, 0, 2*x(1,1), x(1,2), 0, x(1,3), 0, 0, u(1,1), 0, 0, 0, u(1,2), 0, 0, 0, 0;

0, 1, 0, 0, 0, 0, x(1,1), 2*x(1,2), 0, x(1,3), 0, 0, u(1,1), 0, 0, 0, u(1,2), 0, 0, 0;

0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, x(1,1), x(1,2), 2*x(1,3), 0, 0, u(1,1), 0, 0, 0, u(1,2), 0, 0];

F = .' \A.'; % F（方程式 21）

%% 7.

x_est = (F, x, u, t); % 使用 F 重新运行 sim

（''， ... ％ 阴谋

x(1:700,:), ...

x_est(1:700,:), ...

你（1：700，：），...

对象，...

t(1:700));

3参考文献