“三线合一”的逆命题的证明(八年级)

“三线合一”的逆命题的证明(八年级)

【三行合一】

在等腰三角形中，顶点的角平分线、底边的中线和底边的高彼此重合。缩写为“三线合一”（前提必须是等腰三角形，其他三角形不适用）

【“三线统一”的逆命题】

在三角形中，只要高线、中线、角平分线的两条线重合，就可以推导出这条线也是第三条线，这个三角形是等腰三角形。简而言之：如果两条线合二为一，它们一定是等腰的。

注意：这种逆命题不能作为定理。掌握它及其证明过程的目的是为我们解决问题增添一个重要的思想和方法。

(1) AD平分∠BAC，AD⊥BC⇒D点为BC的中点，AB=AC

(2) D点为BC的中点，AD⊥BC⇒AD平分∠BAC，AB=AC

最麻烦的是最后一个

(3) D点为BC的中点，AD平分∠BAC，⇒AD⊥BC，AB=AC

如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，D点为BC的中点。

证明：△ABC是等腰三角形。

我们来看看一位同学的感言：

上面的显然是错误的，也就是说缺少一个条件。

如果AD平分∠BAC为起点，很容易想到构造轴对称同余（向两边画垂直线段，利用角平分线的性质定理）

如果D点以BC的中点为起点，很容易想到双长作图旋转全等，即“8”字形全等（转移线段和角度）

如果D点以BC的中点为起点，考虑等面积，则可以采用等面积法