HPM视角下《等腰三角形的性质》课堂实录

HPM视角下《等腰三角形的性质》课堂实录

作品编号：058

1.创设情境并引入话题

师：PPT展示了以下图片。

图中的屋顶给了我们什么样的几何形象？

生：等腰三角形。

老师：我们来看看这个古罗马墓碑。同学们能猜出墓主的身份吗？

我听有的同学说，如果我们能翻译一下墓碑上的字母，也许就能知道墓主是谁。那太棒了！其实，虽然我们看不懂他的墓志铭，但是有同学注意到这个墓碑的顶部很有特色吗？ （在老师的引导下，学生将注意力集中在墓碑的顶部）

学生1：我观察到这个墓碑的顶部是一个等腰三角形和一条铅垂线的组合。

学生2：我们可以猜测，这座坟墓的主人一定是从事几何和测量相关的工作。也许他生前就是一位伟大的数学家。

师：我的学生观察力和推理能力真强啊！据考证，这块墓碑的主人生前是一名土地测量员。想必，他一定对自己的几何知识和作为一名土地测量员深感自豪。于是，他把自己的工具刻在了自己的墓碑上。事实上，如果我们抽象出这个墓碑顶部的几何形状，我们就会得到右边的形状。该图形由一个等腰三角形和一条从顶点垂下的铅垂线组成。这是一种称为水平仪的工具。这是一种非常古老的工具。在我国，古代勤劳智慧的劳动人民也掌握了它的工作原理，并将其运用到实际生产生活中。工匠们在建造房屋时可以用它来测试梁是否水平。你知道原因吗？不知道吗？那么你想知道这个关卡是如何运作的吗？学完今天的课程你就明白了！好啦，下面我们就开始今天的探索之旅，探索一下等腰三角形的性质吧！

老师：把题目写在黑板上：等腰三角形的性质

设计意图：从学生的实际生活和知识水平出发，感受生活中的等腰三角形，用从古罗马墓碑中抽象出来的关卡设计来渗透数学文化，激发学生的好奇心，激发学生的求知欲和求知欲。解决问题的兴趣。 ．

2. 动手操作和新知识的探索

师：按照下面的运算，看看能得到什么样的几何图形？为什么？你能解释一下为什么吗？

学生：求一个等腰三角形。

学生：原因是基于等腰三角形的概念：两条边相等的三角形称为等腰三角形。

师：相等的两条边称为腰，另一条边称为底角，两腰之间的角称为顶角，底与腰之间的角称为底角。

设计意图：让学生利用轴对称剪出等腰三角形，复习等腰三角形的相关概念，为探索等腰三角形的性质做好准备。

师：仔细观察你剪出的等腰三角形。你能找出这个等腰三角形的特征吗？

学生：独立思考（老师检查和指导）。

师生活动：学生独立思考后，总结自己剪出的等腰三角形纸片的特点，并进行交流和汇报。如果学生找不到结论，或者总结得不全面，老师在检查时会给出以下提示：将剪好的等腰三角形纸沿折痕对折，找出重叠的线段和角。

设计意图：让学生首先开始研究等腰三角形，发现它的特殊性。

老师问：你们每个人剪的等腰三角形纸片，大小、形状都不同。它们是否都具有上面总结的特征呢？

师生活动：学生相互比较，小组协作交流，共同探索总结，完成下表

对折后角重叠

对折后重叠的线段

学生1：我发现等腰三角形ABC关于折痕AD对称。

学生2：我还发现折痕是等腰三角形的对称轴。因此，如果沿对称轴对折，两条边可以完全重叠，可以非常直观地找到重叠的角度和线段。

学生结论：

对折后重叠的角

对折后重叠的线段

∠B=∠C

AB=AC

∠ADC=∠ADB

BD=CD

∠CAD=∠BAD

广告=广告

师：从上面重叠的角和线段中，除了两腰相等外，你还能发现等腰三角形还有哪些特殊性质？请随意说出你的猜测。

学生1：两个底角相等

学生2：因为BD=CD，所以AD是三角形的中线。

学生3：因为∠CAD=∠BAD，所以AD是三角形顶角的角平分线。

学生4：因为∠ADC=∠ADB=90。 ，所以 AD 是三角形的底高。

学生5：经过讨论，我们还发现等腰三角形的折痕很特别：它不仅是顶角的平分线，而且是底边的中线和高。

师生们对上述归纳进行了改进，得到了等腰三角形的两个性质：

性质1：等腰三角形的两个底角相等；

性质2：等腰三角形的顶点平分线、底边中线、底边高重合。

设计意图：通过感性材料，让学生在动手操作中发现等腰三角形的共性和本质特征，猜测和总结三角形的性质，并在此过程中形成感性认识。注重知识形成过程，培养学生的独立性。基于探究的学习方法。

师：用实验操作的方法，我们发现并总结了等腰三角形的性质1和2。关于性质1，有同学能告诉我这个命题的假设和结论是什么吗？

学生：问题是：三角形是等腰三角形；结论是：它的两个底角相等。

师：你能画出图形并用符号语言表达你所知道和验证的东西吗？

学生：已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC。

证明：∠B = ∠C。

老师：太好了！我们学到了什么方法来证明角与角相等？

生：两条直线平行，同角的角相等，内偏角也相等；它们是一致的。

师：结合你画的图形和刚才的操作（折叠等腰三角形的纸），你想用什么方法来证明∠B=∠C？

学生1：取底边的中点D，连接AD，构造一个全等三角形。

学生2：我认为我们可以根据“HL”，用底边的高度来证明两个三角形全等。

学生3：我画的是顶角的平分线。根据“SAS”，可以证明两个三角形全等。

师：三个同学的方法都是正确的。我们以底部的中心线为例，请学生解释如何证明。

师生活动：学生独立完成。教师进行检查并进行个别指导。

教师黑板演示示例。

已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，BD=CD。

证明： ∠B =∠C

证明：在△ABD和△ACD中

∴△ABD≌△ACD (SSS)．

∴∠B =∠C

师：还有其他方法可以证明吗？

健康：三种方法

师生活动：学生进行黑板表演（选择自己喜欢的方式）。老师有意识地选择不同方式的学生上台进行黑板表演。

设计意图：在这里，让学生经历一个完整的命题证明过程，并在文字语言、符号语言和图形语言之间进行转换。能够通过操作发现添加辅助线的方法，了解添加辅助线与解决问题之间的关联性。同时，老师在黑板上进行演示，规范学生的书写格式，并要求学生用各种方式证明。他们觉得不同的辅助线指向同一个结果，初步觉得“三线合一”为性质2的理解铺平了道路。

师：这样我们就证明了性质1（等边角）

从上述全等三角形的证明过程中，你还能得出什么结论呢？

学生1：∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90。

师：以上三种证明方法中，辅助线有什么特点？

学生：都是AD折痕。

老师：好的！现在我们一起来了解一下属性2

学生：一起读2

师：你发现了什么？

学生：原来性质2是性质1的扩展！他们的本质是一样的！证明性质1证明性质2！

师：“三行合一”怎么理解？

学生1：如果它是等腰三角形顶角的平分线，那么这条线也是底边的中线和底边的高。

学生2：如果是等腰三角形底边的中线，那么这条线也是顶角和底高的平分线。

学生3：如果是等腰三角形的底高，那么这条线也是底边的中线和顶角的平分线。

师：很好！如何用几何语言表达：（学生回答，老师板书）

①∵AB=AC,BD=CD

∴AD 平分 ∠BAC, AD⊥BC

②∵AB=AC，AD平分∠BAC

∴BD=CD，AD⊥BC

③∵AB=AC，AD⊥BC

∴AD平分∠BAC, BD=CD

设计意图：引导学生发现等腰三角形的共同和本质特征。并通过证明，进一步培养学生的抽象概括能力和初步逻辑推理能力；让学生真正理解“三线合一”的含义，将“三线合一”分解为三个命题，理解等腰三角形性质2实质内容。

三、回顾历史、追根溯源

师生活动：教师PPT展示了历史上著名的等边、等角的证明方法，学生欣赏。 （以下均为PPT呈现，主要供欣赏。）

师：你知道吗？等腰全等角是欧几里得《几何原本》第一章中的第五个命题：

原命题是：“等腰三角形中，两个底角相等；若两腰向下延伸，则底下的两个角也相等。

如果用现代符号来表达，这个命题的陈述和证明如图所示：

假设ABC是等腰三角形，AB=AC，将AB、AC延伸得到BD、CE，

那么∠ABC=∠ACB，∠CBD=∠CBE。

证明：在BD上取任意点F，在AE上截距AG=AF（命题3），连接FC和GB，

∵AF=AG, AB=AC, ∠FAG 为公角

∴△AFC≌AGB（命题4）

∴FC=GB，∠ACF=ABG，∠AFC=∠AGB。

且 ∵AF=AG,AB=AC

∴BF=CG

且∵∠AFC=∠AGB,FC=GB

△BFC≌△CGB（命题4）

∴∠FBC=∠GCB.∠BCF=∠CBG

且 ∵∠ABG=∠ACF

∴∠ABC=∠ACB

老师：这个命题是欧几里得《几何原理》第一章中的第五个命题，也是全书的第五个命题。据说中世纪时欧洲的数学水平很低。学生们初读《几何原本》时，在学习第五命题“等腰三角形的底角必须相等”时，感到很难。因此，这个命题被嘲笑为“驴桥定理”（asses'），意为傻瓜无法克服的困难；有人推测这个名字来源于欧几里得的绘图，与最简单的木桁架桥非常相似。

师：除了欧几里得之外，历史上很多著名人物都研究过等腰、等角。还有许多其他方法可以证明等腰全等角。我们来看看历史上那些数学伟人的风采。

帕普斯证据定律的欣赏

帕普斯（，约公元 300-350 年）：古希腊数学家，公元 4 世纪。

“等腰等效角”已被证明。证明方法非常巧妙。 △ABC看成两个三角形，一个是△ABC，一个是折叠后的△ACB。

∵AB=AC, AC=AB, ∠BAC=∠CAB,

∴△ABC≌△ACB(SAS),

∴∠ABC=∠ACB。

普罗克拉斯特斯证明欣赏

：（公元 410 年 - 公元 485 年）公元 5 世纪。他还证明了“等边角”（图2）。他的证明方法与欧几里得类似。它还使用了全等三角形的“角和边”判断方法，但没有扩展它。两腰AB、AC，但直接在两腰AB、AC上取点E、D点，使AE=AD，然后连接EC、DB。同样，使用“角和边”两次来证明三角形全等。

设计意图：了解数学历史，渗透数学文化，感受数学课堂的人文精神和教育价值，从而激发学生的学习兴趣和积极性。

4.运用新知识解决问题

师：现在你能解释一下水平仪是如何帮助工匠测量横梁是否水平的吗？

学生：当铅垂线通过底边中点时，梁是水平的。

师：为什么？参考对象是谁？

学生：以水平线为参考，我们可以从这个实际问题中抽象出上图所示的数学模型。因此，这道题转化为证明BC平行于直线l，利用等腰三角形的性质2，就解决了。

老师：太棒了！水平仪是一种非常古老的物体，事实上，当今世界许多地方仍在使用它。它的工作原理就是我们今天学习的等腰三角形的“三线合一”。我国古代劳动人民真是勤劳又聪明。

设计意图：学以致用，介绍历史上关卡的用途。一方面呼应引入课堂，另一方面让学生感受到等腰三角形的性质在现实生活中的应用，体会数学来源于生活、服务于生活的新方面。 。课程理念。同时可以感受到我国古代劳动人民的智慧，增强文化自信和民族自豪感。

5.课堂练习，能力提升

1、已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=80°。求 ∠C 和 ∠A 的度数。

老师：这里∠B是——？

学生：△ABC的底角？

老师：你怎么知道？

学生 1：已知条件

学生2：画出形状，一看就知道了。

学生独立完成。

变式训练：

(1) 已知等腰三角形△ABC，∠B=80°，求∠C和∠A的度数。

师：这道题和上一道题有什么区别？

学生：我们不知道∠B 是顶角还是底角。我们需要对其进行分类和讨论。 （让学生独立尝试完成，然后集体评论。指导学生自己画图，帮助理解。）

（2）已知等腰三角形△ABC，∠B=100°，求∠C和∠A的度数。

师：这个问题还需要讨论吗？为什么？

学生：不需要，因为底角不会超过90°

学生：独立完成。

摘要：在等腰三角形中，如果知道任意一个角的尺寸，就可以求出另外两个角。当已知条件不能明确表明一个角是否为锐角，且不知道它是顶角还是底角时，就需要对其进行分类讨论。

2、如图所示，已知AB=AC，AD为△ABC的中心线，∠B=50°，则∠BAD=。

学生：将三条线合二为一，可以看出AD仍然高于△ABC。

设计意图：通过典型事例的变化，培养学生的发散思维，渗透分类讨论的数学思想。教师通过适当的“引入”，激发学生主动“探索”，使师生双边活动产生“共鸣”，和谐发展。

六、总结、拓展和改进

师：同学们，这节课你们有什么收获？

学生1：等腰三角形的性质是：“等边等角”和“三线合一”

学生2：我认为数学知识往往是通过动手操作获得的。

学生3：数学史上这么多数学家对等腰三角形性质的探索和证明，真是让人大开眼界！

学生4：我也知道关卡是如何运作的，感觉棒极了！

……

七。层层推进巩固提升

(一)A组：

1. 在等腰△ABC中，∠A=60°，求∠C和∠B的度数。

2、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC在D点，经过D点，令DE⊥AB在E点，DF⊥AC在F点，若BE=3，求CF的长度

设计意图：简单应用性质1和2，更好地理解性质，打下坚实的基础。同时，它为下一节研究等边三角形奠定了基础。 （由全班同学共同完成。）

B组

1、如图所示，在△ABC中，AB=AC=5，AD平分∠BAC，且AD=4，BC=6。如果P点在AC边上移动，求BP的最小值。

设计意图：性质2的简单应用，在A组的基础上稍作改进和扩展，帮助学生更好地理解性质2。（中级以上学生可选。）

C组变化：

证明：底边距两腰等距的点位于顶角平分线所在的直线上。

设计意图：本班学生对文本证明题比较陌生，对三种语言之间的转换还不是很熟练。因此，设置本题既巩固了文本证明题的解答方法，又对练习2.变式进行了拓展和扩展。适合有充足业余时间的同学选择。

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