点差法——求轨迹方程的法宝（延伸阅读）

点差法——求轨迹方程的法宝

6 2014年第18期（总第464期）&【职业教育】若直线与圆锥曲线（弦的端点）的交点坐标分别为A(x 1 , y 1 ) (x 2 , y 2 )，将这两点带入圆锥曲线的方程中，将得到的两个方程进行差分，得到与弦AB的中点和斜率有关的方程，这样不仅减少了计算量，而且不易出错。这种以点代差的方法，一般称为“扩散法”，扩散法的本质是假设而不求。然而，一个很重要的问题是，使用点差法得到轨迹方程后，必须进行检验。当问题中出现曲线、弦、相交弦的中点时，一般采用点差法求解，这三个条件一般用于知二求一。 1、点差法解决中点弦轨迹问题 例1：通过椭圆中的一点M(2, 1)引入一条弦，使该弦被M点平分，求该直线的方程和弦谎言。分析：本题给定曲线中点和相交弦，求弦所在直线的方程。因此，可以采用点差法来解决这个问题。解：假设直线与椭圆的交点为A、B，两点A、B的坐标分别为(x 1,y 1)(x 2,y 2)，则M(2, 1) 是AB的中点，且两点A、B在椭圆上，则将两个方程相减整理： ①讨论 (1) 此时直线AB的方程为： x=2，显然M不是线段AB的中点。

这种情况不符合问题的意思。 (2) 当≠时，将公式①编译成) ( 42 12 12 12 1y yx xx xy y++− =−− 将 42 12 1− =−−x xy y 代入上式中得到 212 12 1− =−−x xy y，即因为直线AB经过点M(2, 1)，所以直线AB的方程为 y-1=21− (x-2): x+2y-4=0 综上：所以直线方程直线AB为：x+2y-4=0 注释：（1）由于本题已知M(2, 1)是椭圆内的一点，所以所求直线x+之间必定有两个交点2y-4=0 和椭圆。 2. 用点差法求解弦中点轨迹问题例2： 给定椭圆1222=+yx 和点M(0, 2)，一条直线。过此点画直线与椭圆相交于A点和B点。求线段AB中点P的轨迹方程分析：本题中，曲线和弦已知，求线段AB的中点轨迹方程。找到相交弦，因此可以用点差法来解决这个问题。解：设两点A、B的坐标分别为(x 1,y 1)(x 2)。 ，y 2)，设AB中点坐标为(x，y)，则由于A、B两点在椭圆1222=+yx上，所以两方程相减=+=+ yx 为： 讨论： (1) 当 ≠ 时，0 22 12 1=−−+x xy yy x…… ① 由此可得 P 点的坐标仍符合方程。综上，P点的轨迹方程为。

测试方法一：将1222=+yx之和制作图像如图1所示。从图像中可以看出，曲线方程为（落入1222=+yx内的部分） 图1 点差法-求轨迹方程的法宝 秦素莲（河北霸州第一中学，河北霸州） 摘要：求轨迹方程的方法是平面解析几何中常用的方法，可以减少大量的计算量。本文从点差法求解中点弦轨迹问题、点差法求解相交弦中点轨迹问题、点差法求曲线轨迹方程三个方面进行了研究，并给出了实例。关键词：点差法；轨迹方程；曲线分类号：G634.6 文献编码：A 文章编号：1000-8772（2014）18-0179-02 收稿日期：2014-06-04 作者简介：秦素莲（1981-），女，廊坊人，河北省本科，二级教师。研究方向：高中数学教学。