点差法——求轨迹方程的法宝

点差法——求轨迹方程的法宝

点差法——求轨迹方程的法宝 摘要： 摘要：求轨迹方程的方法是平面解析几何中常用的方法，可以减少大量的计算量。本文从点差法求解中点弦轨迹问题、点差法求解相交弦中点轨迹问题、点差法求曲线轨迹方程三个方面进行了研究，并给出了实例。关键词： 关键词： 点差法；轨迹方程；曲线若直线与圆锥曲线(弦的终点)交点的坐标分别为A(x,y)(x,y)，将这两点带入圆锥曲线方程并求差将得到的两个公式进行对比，得到与弦AB的中点和斜率相关的公式，这样不仅减少了计算量，而且不易出错。这种利用点求差的方法一般称为“点差法”。法的本质是不求而立。然而，一个很重要的问题是，使用点差法得到轨迹方程后，必须进行检验。当问题中出现曲线、弦、相交弦的中点时，一般采用点差法求解，这三个条件一般用于知二求一。 1.点差法解决中点弦轨迹问题例1：通过椭圆中的一点(2, 1)引入一条弦，使弦被该点平分，求弦所在直线的方程谎言。分析：本题给定曲线中点和相交弦，求弦所在直线的方程。因此，可以采用点差法来解决这个问题。解：假设直线和椭圆的交点为A、B，两点A、B的坐标分别为(x,y) (x,y)，(2, 1)为中点AB 的点在椭圆上，则两个方程相减，可得 ①讨论 (1) 此时直线 AB 的方程为：x=2，显然不是线段AB的中点。

这种情况不符合问题的意思。 (2) 此时将式①代入上式可得，即因直线AB经过点(2,1)，故直线AB的方程为y-1= (x-2)。公式为：x+2y- 4=0 综上：所以直线AB的方程为：x+2y-4=0 注释： (1) 因为已知(2,1)是椭圆内的点本题中，要求直线 x+2y-4 =0 与椭圆之间必须有两个交点，无需再次检查。 2、点差法解决相交弦中点的轨迹问题。例2：给定椭圆和点(0,2)，穿过该点画一条直线与椭圆相交于两点A、B。求线段AB中点P的轨迹方程。 。分析：本题已知曲线和弦，并求出相交弦的中点轨迹方程，因此可以采用点差法来求解本题。解：设两点A、B的坐标分别为(x,y)(x,y)，设中点AB的坐标为(x,y)。由于A、B两点在椭圆上，所以两个方程相减。即： 讨论： (1) 此时，„„ ① 由„„ ② 将②代入①，可得： 即 (2) 此时，P点的坐标仍符合方程。综上，P点的轨迹方程为。测试方法一：求和的图形如图1所示，从图中可以看出，所需要的曲线方程为（落在里面的部分）。图1.测试方法二：求解或组合图像，找到所需的曲线方程为(y)。备注：（1）必须注意的事项； (2)这类测试比较麻烦，有时需要大量计算，但又是必不可少的。

这就是传播方法的缺点。 3.用点差法求曲线轨迹方程 例3：已知双曲线圆心在原点，一焦点为（），直线y=x-1 与它相交于两点N， N 的中点横坐标为 - ，求这条双曲线。分析：本题有直线和相交弦的中点，可以求出曲线的方程，因此可以考虑点差法。解：设N的中点为P，设P点的坐标为(-,y)。点 P 在直线 y=x-1, y=--1=- 上。设N点和N点的坐标分别为(x,y)。 ，(x,y)则x+x=-，y+y=-又因为焦点(,0)的X轴上的双曲线方程为(a0,b0)，所以两点N在双曲线上① ② ①-② 求出 ③ 将 x+x=-, y+y=- 代入 ③ 式中，可得 N 两点在直线上 y=x-1 xx ③ 整理后，可得 = =1 b= =+=+= 7 =2 =5 测试双曲线方程：直线和双曲线方程组合：消去Y，得到3x+4x-12=0 其中判别式=16+4*12*3 =1600，所以双曲线方程为 总之，通过应用本文中的点差法的适用条件，应用本文中的格式步骤，可以对此类问题进行建模，从而可以快速求解该问题正确。点差法是求解轨迹方程的重要法宝。