“三线合一”证题.pdf

“三线合一”证题.pdf

.,....等腰三角形巧妙地用“三线合一”来证明问题。 “三线合一”是等腰三角形的一个特殊性质，在解决一些几何问题的过程中被广泛应用。本文举例说明其应用，供参考。 1、直接应用“三线合一” 例一 已知，如图1所示，AD为ABC的角平分线，DE、DF分别为ABD、ACD的高度。证明：AD 垂直平分 EFA1。图1分析：从本题的条件和图形特征来看，如果要证明AD垂直平分EF，因为有1 2，所以只需要证明AEF是等腰三角形：DE AB, DF AC1 2 , AD ADRt AED Rt AFDAE AF 又 1 2AD 垂直平分 EF 例2.如图2所示，在ABC中，AB=AC，AD为BC边的高度，AD的中点为M，延长线CM 与 AB 相交于 K 点，验证：AB 分析 图 2：考虑使 DE//CK 与 AB 相交于 E。因为 M 是 AD 的中点，所以 K 是 AE 的中点。只要E是BK的中点，问题就可以解决。既然有AB AC、AD BC，我就想到了用“三行合一”。

证明：经过D点使DE//CK与BK相交于E点。参考数据...AB AC, AD BCBD DC, BE, AK KEAK KE EBAB 3AK 2. 先连线，再用“三例3.如图3所示，在ABC中，A 90 、AB AC 、D为BC的中点，P为BC上的任意点，设PE AB 、PF AC ，垂脚为E验证： (1) DE=DF； (2) PC 分析 图3： (1) 要证明两条线段相等，很容易想到使用全等三角形。 BDE 或 PDE 的一条边，DF 是 DFP 或 DFC 的一条边，但它们不可能全等，因为 D 是等腰直角三角形的底边 BC 上的中点，所以此时我们想到连接 AD。问题很容易找到或证明（2）如果要证明 DE DF ，只需证明 90 即可，但由于（1）已经证明了 90 ，所以通过证明：连接 AD 即可解决问题。 。

D 是 BC BAC 90、AB AC1AD BDBC2 DA 平分 BAC、AD 452B 45AB AC、PF AC、PE AB 四边形 PEAF 是矩形 PE FABPE 45BBE PE AF 和 AB AC、E CF 和 45、DF (2) 参考。数据...而90就是DE DF 3.先构造一个等腰三角形，然后用“三线合一”例4。如图4所示，在已知的四边形ABCD中，90、M、N分别是AB和分别CD。是AB边中线的中点，因此， 2 所以，问题很容易解决。

证明：连接DM，90，M为AB的中点，1DM为等腰三角形，N为CD的中点，MN CD例5。如图5所示，在ABC、BC和CF分别平分ABC和ACB时， AE BE在E中，AF CF在F中，验证：EF//图5分析：用BE平分ABC和AE。很容易想到BE：延长AE与BC相交于M，可得等腰BMA，E为AM的中点；同理可得等腰CAN，F为AN的中点，故EF为AMN的中点，命题得证。证明：延长AE和AF分别与BC相交于M和N1 2 。 AE BEBAM 是等腰三角形，即AB MB。同样，AE EM 是AMN 的中线EF//MN。 EF//BC指的是信息。，。 ...1.证明角度相等【例1】已知：如图1所示，在ABC，AB AC，BD AD在D中。验证：BAC 2 DB C.A 【分析】画出等腰ABC顶角的平分线并将顶角分成两等份。根据“三行合一”的性质，证明DBC等于任一部分的1 2 分钟。 D 【证明】 作为 BAC 的平分线 AE，有 BEC 1 2 1 BA。 C∵ AB AC , 1 2 , ∴ AE BC 图 12（三线合一）。 ∴2C 90．还有 ∵ BD AD , ∴ DBCC 90. ∴ 2 DB C. ∴ BAC 2 DBC． 【说明】添加辅助线，利用等腰三角形的“三线合一”性质，巧妙构造两个锐角相同的直角三角形，将已知条件与待证明的结论有机地联系起来，很容易得到问题解决方案。 2、证明线段相等 【例2】（2009·汕头）如图2所示，ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC至E，作CE CD，画DMBE过 D 点，垂线为 M ．验证：BMEM【分析】B DE、DMBE 中。如果能证明A DB DE，则可以从“三行合一”得到BM EM。 【证明】∵ABC是等边三角形，D是AC的中点，D∴60，BD平分ABC（三条线合二为一）。 ∴DBC 30． BM CE 图 2 和 ∵ CE CD、∴E CDE。且 ∵ ACBE CDE, ∴E 1 ACB 30。 ∴ DBCE 30． ∴2DBDE．还有∵ DMBE、∴ BMEM（三行合一）。 【提示】等线段问题可以用“三线合一”来证明，也可以用全等三角形来解决，但用“三线合一”来证明比用全等三角形简单得多三角形。因此，我们在解决这类问题时，需要端正始终以三角形全等为依据的思维定式，优先采用“三线合一”的方法来解决。 3、证明直线垂直【例3】（2009·义乌）如图3所示，在正△ABC中，ADBC在D点，以AD为一侧，参考右侧。数据……，……使△ADE为正值。请确定AC与DE的位置关系并提供证明。 【解析】正△ABC中，由“三线合一”可知A CAD 30。而△ADE也是等边三角形，所以我们有E 60 30 30，这样AF就是正△ADE的角平分线，然后由“三线合一”得到AC DE。 F 【证明】 正中△ABC，∵ADBC，∴CAD 30 BDC 图3（三线合一）。在正△ADE中，∵60 30 30 ，∴AF是DAE的平分线。 ∴AC DE（三行合一）． 【重要】当题中满足以下两个条件时，可以用“三线合一”来证明两条直线相互垂直：（1）存在等腰三角形； (2) 两条直线之一是该等腰三角形的顶点或底边中线的平分线。例1 等腰三角形的顶角为 ，腰高与底边的夹角为 ，则 和 的关系为 = 。

图1分析：如图1所示，AB=AC，BD⊥AC在D上，作为底BC上的高度AE，E为竖脚，可见∠EAC=1∠EAB，和∠EAC 90°∠C，∠90°∠C，所以21∠EAC，。 21 例2 已知：如图2所示，在△ABC中，AB=AC，CE⊥AE在E内，CEBC，E在△ABC外。找到2个证明：∠ACE=∠B。参考。数据.,....图2分析：要证明∠ACE=∠B，由于AC=AB，只需构造一个与Rt△ACE全等的三角形，即取底高公元前。证明：将AD⊥BC转换为D，∵AB=AC，1∴和∵CEBC，2∴BD=CE。在Rt△ABD和Rt△ACE中，AB=AC，BD=CE，∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL）。 ∴∠ACE=∠B 例3.已知：如图3所示，在等边三角形ABC中，D为AC边的中点，E为BC延长线上的点，CE=CD，DM⊥BC在M中，证明：M是BE的中点。图3分析：要证明M是BE的中点，我们已经知道DM⊥BC，所以只需证明DB=DE即可，即证明∠DBE=∠E。根据等边△ABC，BD是中线，我们知道∠DBC=30°，所以只需证明∠E=30°即可。

证明：连接BD，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°∵CD=CE，∴∠CDE=∠E=30°∵BD是边AC的中线，∴BD平分∠ABC ，即∠DBC=30°∴∠DBE=∠E。 ∴DB=DE 且∵DM⊥BE，∴DM 为BE 边缘的中线，即M 为BE 的中点。 【练习】 1、如图4所示，将一根木条钉在墙上。小明想测试一下木条是否水平。他拿起如图所示的水准仪。在该水准仪中，AB=AC，在BC边的中点D处有一重物。小明将BC边与木条重叠，观察重物是否通过A点，如果通过A点，则为水平。你能解释一下原因吗？参考。数据...，...图4 2.已知：如图