圆锥曲线的八种解题方法之 韦达定理法、弦长公式法

圆锥曲线的八种解题方法之 韦达定理法、弦长公式法

1.吠陀定理法

由于直线的方程是一次的，而圆锥曲线的方程是二次的，所以直线和圆锥曲线的问题往往会转化为方程组之间关系的问题，最后转化为单变量的二次方程。因此，利用韦达定理和判别式，是解决圆锥曲线问题的关键方法之一，特别是弦中点问题和弦长问题，可以直接用韦达定理来解决，但要注意不要忽略了判别性的。

吠陀定理法【典型例子】

例：已知椭圆x2/m+y2/(m-1)=1(2≤m≤5)，通过其左焦点、斜率为1的直线与椭圆及准线相交从左到右在 A、B、C、D 四个点。设 f(m)=||AB|-|CD||

(1)求f(m)

(2)求f(m)的最大值

分析：这个问题乍一看似乎很复杂。我不知道如何计算f(m)的结构，因为A和B来自“不同的系统”。 A在准线上，B在椭圆上，同样C在椭圆上，D在椭圆上。在准线上，可以看出直接解法比较麻烦。通过将这些线段“投影”到x轴上，可以立即得到方程。

至此问题就清楚了，只能用吠陀定理了。

解：（1）在椭圆x2/m+y2/(m-1)=1，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦点F1(-1,0)，右焦点F2( 1,0)

然后BC:y=x+1，代入椭圆方程

即 (m-1)x2 +my2-m(m-1)=0

得到 (m-1)x2 +m(x+1)2-m2+m=0

∴(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0

点评：本题要求最终需求xB+xc，已知BC的斜率为1，因此也可以用“点差法”将BC的中点设为M(x0,y0)。将B和C的坐标代入差值，得到x0/m+ky0/(m-1)=0，代入y0=x0+1，k=1得到x0/m+(x0+1)/( m-1)=0,x0=-m/(2m -1)，可见xB+xc=-2m/(2m-1)。当然，解决这个问题的关键在于对CD和AB的理解。通过线段在x轴上的“投影”，发现f(m)=|xB +xc|是解决这个问题的关键。

2、弦长公式法

弦长公式：一般求直线与圆锥曲线相交处弦AB的长度的方法是将直线方程y=kx+b代入圆锥曲线方程，得到ax2+bx形式的方程+c=0。方程 设两个根为xA，xB的判别式为△，则

如果直接使用结论，可以减少公式、处方等计算过程。

弦长公式法【典型例子】