2023年中考数学压轴题专题31 三角形与新定义综合问题【含答案】.pdf

2023年中考数学压轴题专题31 三角形与新定义综合问题【含答案】.pdf

31专题三角形综合问题及新定义【例1】（2022·淮安地区模拟）我们定义：等腰三角形的底边与腰部的比值称为底角（can）的邻对对，为如图1所示，在△ABC，AB=AC中，相邻一对底角∠B记为canB，则canB==。容易知道，一个角的大小与该角的相邻对角一一对应。根据上述相邻角度对的定义，求解如下问题： (1)can30°=，若canB=1，则∠B=°。 （2）如图2所示，在△ABC，AB=AC，canB=，S△ABC=48中，求△ABC的周长。 【例2】（2022•柯城区学校三级模型） 定义：如果三角形的一条边的高等于该边的高，则该三角形称为“标准三角形”。例如：在△ABC中，CD⊥AB在D点，AB=CD，则△ABC是一个标准三角形。 【概念感知】判断：正确则打“√”，错误则打“×”。 (1) 等腰直角三角形是标准三角形。 (2)顶角为30°的等腰三角形是标准三角形。 【概念理解】如果等腰三角形是标准三角形，则三角形三边长之比为。 【概念应用】 （1）如图所示，若△ABC是标准三角形，CD⊥AB在D点，AB=CD=1，求CA+CB的最小值。 (2) 如果标准三角形的一条边乘以另一边，求最小角的正弦值。 【例3】（2020·五华区学校三级模型）爱思考的小谦在探索两条直线的位置关系时，发现了“中超垂三角形”。即两条中线互相垂直的三角形称为“中悬三角形”。如图（1）、图（2）、图（3）所示，AM、BN是ABC的中线，AM⊥BN在P点，像ABC这样的三角形都是“中位三角形”。设BC=a，AC=b，AB=c。 【特例分析】（1）如图1所示，当∠PAB=45°时，c=、a=、b=；图2，当∠PAB2 2 = 30°时，c = 2，a + b =； 【归纳证明】 2 2 2 (2) 请观察(1)中的计算结果，猜测a、b、c之间的关系，将其表达为方程，并用图3证明你的结论。 【扩展证明】（3）如图4所示，▱ABCD中，E、F分别为AD、BC的第三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE、BE⊥ CE 在E、AF、BE的交点G处，AD=3，AB=3，求AF的长度。 【例4】（2020·岳麓区学校二级模型）定义：在△ABC中，若有两条中线互相垂直，则△ABC2 2 22 2 2称为介观三角形，AB +BC + CA称为△ABC的平方周长记为L，即L=AB+BC+CA。 (1)如图1所示，已知△ABC是等腰直角三角形，BD和AE分别是边AC和BC的中线。若AC=BC，则证明：△AOB是等腰直角三角形； （2）图2，在介观三角形ABC中，AE和BD分别为BC和AC边的中线，AE⊥BD在2点O处。试探求△ABC的平方周长L之间的定量关系和AB，并证明。 ; (3)如图3所示，已知抛物线y=与x轴正半轴相交于A点，与y轴相交于B点，过B点的直线相交与抛物线于C点，与x轴负半轴相交，两轴相交于D点，且BD=CD，接AC与y轴相交于E点。 ①证明：△ABC是斜三角形； ②若△ABC是直角三角形，求△ABC的正方形周长L的值。 【例5】（2020•安徽模拟）通过学习锐角三角函数，我们知道，在直角三角形中，锐角的大小与两条边长之比一一对应。因此，两条边长与角度的比值大小可以相互换算。类似地，可以建立等腰三角形的边和角之间的联系。我们定义：等腰三角形的底边与腰部的比值称为相邻对底角（can），如图（1）所示。 △ABC中，AB=AC，相邻一对底角B记为canB。此时canB=，很容易知道一个角度的大小与该角度的相邻值有一一对应关系。根据上述相邻对角的定义，求解如下问题： (1)can30°=； （2）如图（2）所示，已知△ABC，AB=AC，canB=，S△ABC=24，求△ABC的周长。一。答题（共20题） 1.（2022年秋季如皋市期中考试） 定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形称为“双角三角形”。 （1）下列三角形必须是“双角三角形”（只需填写序号）。 ①顶角为30°的等腰三角形； ②等腰直角三角形； ③ 一个角为30°的直角三角形。 （2）如图1所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC≥90°，将△ABC沿直线AB对折180°得到△ABD，将DA延伸至E点，并连接BE。 ①若BC=BE，证明：△ABE是“双角三角形”； ②点P在线段AE上，与BP相连。如果∠C=30°，BP除以△ABE得到的两个三角形中，一个是等腰三角形，另一个是“双角三角形”。请直接写出∠E的度数。 2． （2022年秋季义乌市校级月考）【概念理解】如图①所示，在∠ABC中，若∠ABD=∠DBE=∠EBC，则BD和BE称为∠的“三点线” ABC，其中BD为“与AB相邻的三分线”，BE为“与BC相邻的三分线”。 【问题解决】 (1)如图②所示。在△ABC中。 ∠A=80°，∠ABC=45°。若∠ABC的三等分线BD与AC交于D点。求∠BDC的度数。 (2)如图所示，△ABC中。 BP、CP分别为∠ABC中与BC相邻的第三条线和∠ACB中与BC③相邻的第三条线，且∠BPC=140°。求 ∠A 的次数。 【延伸推广】（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角。 ∠ABC第三条直线所在直线与∠ACD第三条直线所在直线相交于点P。若∠A=m°（m>54），则∠ABC=54°。求 ∠BPC 的度。 （用含有m的公式表示） 3.（2022年春季石嘴山市学校年级期末）【问题情况】我们知道：在平面直角坐标系中，有两个不重叠的点A(x,y)和点B(x ，y）。若x = x, 1 12 21 2 则AB∥y轴，线段AB的长度为|y_y|；如果y = y，则AB∥x轴，线段AB的长度为|x1 21 21_x |。 2 【引申】 现在，如果规定平面直角坐标系中任意两个不重叠的点 M(x,y) 和 N(x,y) 之间的折线 1 12 2 之间的距离为 d(M, N) = | x_x|+|y_y|。例如：图中M点(-1, 1)和N点(1, -2)。 1 2 1 2 =| 之间的折线距离 d(M,N) -1-1|+|1-(-2)|=2+3=5，【应用】解决下列问题：（1）已知点E（3, 2），点F（1.-2），求d(E,F)的值； (2)已知点E(3, 1)，H(-1, n)，若d(E, H)=6，求n的值； (3)已知点P(3, 4)，点Q在y轴上，O为坐标系原点，△OPQ的面积为4。

5. 求 d(P, Q) 的值。 4.（2022年春季·镇江决赛）定义：在一个三角形中，如果一个角是另一个角的两倍长，我们称这两个角互为“快乐角”，这个三角形称为“快乐三角形” 。例如：在△ABC中，∠A=70°，∠B=35°，则∠A和∠B互为“快乐角”，△ABC就是“快乐三角形”。 【理解】（1）若△ABC是快乐三角形，∠A=144°，则该三角形的最小内角为°； （2）若△ABC是幸福三角形，∠A=70°，则该三角形的最小内角为°； (3) 已知∠A是快乐△ABC中最小的内角，是快乐角之一。试确定∠A的取值范围并说明原因； 【应用】如图所示，AD平分△ABC的内角∠BAC与BC交于点E，CD平分外角△ABC。外角∠BCF延伸BA和DC并交于点P。已知∠P=30°。如果∠BAE是快乐的△ABE角之一，假设∠BAE = ∠α，求∠α的度量。 5.（2022年春季·崇川赛区决赛）定义：如果三角形的两个内角α和β满足α+2β=100°，那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”。 (1)如图1所示，在△ABC中，∠ACB=80°，BD平分∠ABC。证明：△ABD 是“美妙三角形” (2) 若△ABC 是“美妙三角形”且∠C=80°。证明：△ABC是直角三角形； (3) 如图2所示，在△ABC中，BD平分∠ABC。若△ABD是“奇妙三角形”且∠A=40°，则直接写出∠C的度数。 6.（2022年春季亭湖区学校水平月考）定义：三角形一边上的一点将该边分为两条线段，这两条线段的乘积等于连接该点到与这条边相对的顶点，则称为该点是三角形该边的“好点”。如图2 1所示，在△ABC中，点D是BC边上的点，与AD相连。如果AD = BD·CD，则称D点为△ABC中BC边上的“好点”。 (1)如图2所示，△ABC的顶点就是4×3网格图的网格点。请只用尺子画出（或直接在图中描出）AB边上所有的“好点”D点； （2）在△ABC中，BC=7，，tanC=1，D点是BC边上的“好点”，求线段BD的长度； (3) 如图 3 所示，△ABC 是 ⊙O 的内接三角形，H 点在 AB 上，连接 CH 并将交点 ⊙O 延伸到 D 点。如果 H 点是 CD 旁边的“好点”，则△BCD。 ①验证：OH⊥AB； ②若OH∥BD，则⊙O的半径为r，且r=3OH，求其值。 7． （2021年秋季·如皋市期末）【理解概念】定义：如果三角形的一侧中线等于三角形一侧的一半，则该三角形称为半线三角形，中线为称为这条边的半线。 【理解与应用】（1）如图1所示，在△ABC，AB=AC，∠BAC=120°中，试判断△ABC是否是半线三角形，并说明理由； 【扩展与改进】（2）图2，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，M为△ABC外的一点，连接MB和MC。若△ABC和△MBC都是半线三角形，AD和MD分别是这两条三角形边BC的半线，求∠AMC的度数； (3) 在(2)的条件下，若MD=且AM=1，则直接写入BM的长度。 8.（2021年秋季·顺义区决赛）我们定义：在等腰三角形中，腰部与底边的比值称为等腰三角形的正度数。如图1所示，在△ABC中，AB=AC， 的值为△ABC的正度。已知：在△ABC中，AB=AC，若D为△ABC边上的移动点（D与A、B、C不重合）。 (1) 若∠A=90°，则△ABC的正度为； （2）图1中，当D点在腰部AB上时（D与A、B不重合），请用直尺和圆规画出等腰三角形△ACD，保留绘图的痕迹；若△ACD的正度为，求∠A的度。 (3) 若∠A为钝角，如图2所示，则△ABC的正度为，△ABC的周长为22，是否存在使△ACD为正度的点D？如果存在，求△ACD的正度；如果不存在，请解释原因。 9． （2021年秋季·丹阳市决赛）墨涅拉俄斯（），古希腊数学家。他首先证明了墨涅劳斯定理。定理内容为：如(1)所示，若一条直线与△ABC的三条边若AB、BC、CA或其延长线相交于F、D、E三点，则必有= 1.下面是利用相似三角形的相关知识证明该定理的部分过程： 证明：如图（2）所示，过A点画AG∥BC，与DF的延长线交于G点，则我们有，∴=1。请用上述定理的证明方法，解决下列问题： （1）如图（3）所示，△ABC、CB、AB、AC 三边的延长线分别与直线 l 相交于X、Y、Z 三点。证明：=1。请用上述定理的证明方法或结论解决下列问题： （2）如图（4）所示，等边△ABC 的边长为 2，D 点为 BC 的中点，F 点在AB，且BF=2AF，CF与AD交于E点，则AE的长度为。 （3）如图（5）所示，△ABC的面积为2，F为AB的中点，将BC延伸到D，使CD=BC，在E处连接FD和AC，则​​四边形BCEF是。 10． （2021年秋季洪江市决赛）从三角形（非等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交。顶点和交点之间的线段将三角形分成两个小三角形。如果将两个小三角形分成一个三角形，一个是等腰三角形，另一个与原三角形相似。我们称这条线段为三角形的完美分割线。 （1）如图1所示，在△ABC中，∠A=44°，CD为△ABC的完美分割线，AD=CD，求∠ACB的度数； (2)如图2所示，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°。验证：CD是△ABC的完美分割线； (3)如图3所示，在△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，而△ACD是以CD为底的等腰三角形，求完美分割线的长度线CD。 11.（2021年秋季·石景山区决赛）在Rt△ACB，∠ACB=90°，CA=CB=6中，P点为线段CB上的移动点（与B、C点不重合），经过点 P 直线 l⊥CB 与 AB 相交于点 Q。 给出如下定义： 若边 AC 上有一点 M，且该点 M 相对于直线 l 的对称点 N 正好在ΔACB 的边，则称 M 点为 ΔACB 相对于直线 l 的“反对称点”。例如图1中的M点就是△ACB相对于直线l的“反对称点”。 (1) 如图2所示，若CP=1，则M、M、M、M点在AC侧，AM=1，AM=2，AM=4，1 2 3 4123 AM=6。点M、M、M、M中，△ACB相对于直线l的“反对称点”为； 41 2 3 4 (2) 若M点是△ACB相对于直线l的“反对称点”，则将△ACN作等腰三角形，求AM的长度； (3) 存在直线l 和点M，故点M 是△ACB 相对于直线l 的“反对称点”，直接写出线段CP 的取值范围． 12.（2021年秋季·鄞州区决赛）【题】如图1所示，在△ABC中，线段DE的端点D、E分别在边AB、AC上。如果位于DE上方的两条线段AD和AE的乘积等于DE下方的两条线段BD和CE的乘积，即AD×AE=BD×CE，则称其为“友好分割” △ABC的线段。 （1）如图1所示，若DE为△ABC的“友好分割”线段，AD=2CE，AB=8，求AC的长度； 【发现证明】（2）如图2所示，在△ABC中，点F在BC边，FD∥AC与AB相交于D，FE∥AB与AC相交于E，连接DE。验证：DE是△ABC的“友好分割”线段； 【综合运用】（3）如图3所示，DE为△ABC的“友好分割”线段连接DE并延长与BC相交于F的直线。通过A点，画AG∥DE相交的外接圆△ADE在G点与GE相连。设 =x, =y。 ①求出y关于x的函数表达式； ② 连接BG 和CG，求y = 时的值。 13． （2021年秋季鼓楼区学校期末考试）定义1：如图1所示，若H点在直线l上，则有两条以H为端点的线段MH和NH在l的同侧，满足∠ 1=∠2，则称MH和NH满足关于直线l的“光学性质”；定义2：如图2所示，在△ABC中，△PQR的三个顶点P、Q、R分别在BC、AC、AB上。如果RP和QP BC满足“光学性质”，PQ和RQ满足关于AC的“光学性质”，PR和QR满足关于AB的“光学性质”，则△PQR称为△的光线三角形ABC。阅读上面的定义，探究问题：在△ABC中，∠A=30°，AB=AC，△DEF。三个顶点 D、E、F 分别位于 BC、AC、AB 上。 (1)如图3所示，若FE∥BC、DE、FE满足AC的“光学性质”，求∠EDC的次数； （2）如图4所示，在△ABC中，设CF⊥AB在F中，并用AB直径的圆分别与AC和BC相交于E点和D点。 ①证明：△DEF是△ABC的射线三角形； ②证明：△ABC的射线三角形是唯一的。 14.（2021年秋季丰台区决赛）对于平面直角坐标系xOy中的线段AB和点P，给出如下定义：若点P满足PA=PB，则P称为线的“轴点”线段AB，其中，当0°＜∠APB＜60°时，P称为线段AB的“远轴点”；当60°≤∠APB＜180°时，P称为线段AB的“近轴点”。 (1)如图1所示，A点和B点的坐标分别为(-2, 0)、(2, 0)，则在P(-1, 3)、P(0, 2)、12 P (0, -1)，在P(0, 4)中，线段AB的“轴心点”为；线段AB的“近轴点”是。 34 (2) 如图2所示，A点坐标为(3, 0)，B点在y轴正半轴上，∠OAB=30°。若P为线段AB的“远轴点”，请直接写出点P的横坐标t的取值范围。 15.（2022年秋季·长沙期中）概念学习规定：如果三角形的三个角相等到另一个三角形的三个角，则这两个三角形称为“等角三角形”。从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线并与对边相交。顶点和交点之间的线段将三角形分成两个小三角形。如果将两个小三角形一分为二，其中一个就是等腰三角形。 ，另一个是与原三角形的“等角三角形”。我们把这条线段称为这个三角形的“等角分界线”。理解概念：（1）如图1所示，在Rt△ABC、∠ACB=90°、CD⊥AB中，请写出图中两对“等角三角形”。概念应用：（2）如图2所示，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°。证明：CD是△ABC的等角分界线。动手操作：（3）在△ABC中，若∠A=50°，CD为△ABC的等角分界线，求出∠ACB所有可能的度数。 16． （2022年春季·化州赛区决赛）阅读以下材料，然后回答问题：我们定义一个新的三角形。两条边的平方和等于第三条边的平方的两倍，称为奇异三角形。 （1）理解并填空：①根据奇异三角形的定义，请判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？ （填写“是”或“否”） ② 如果三角形三边的长度分别为 1、 、 2，则该三角形（填写“是”或“否”）是奇异三角形。 22 (2) 探究：在Rt△ABC中，两边长分别为a、c，a=50，c=100，这个三角形是奇异三角形吗？请解释原因。 17.（2022·任城区三模型）我们定义：等腰三角形的底边与腰部的比值称为顶角的直对角（sad）。如图中△ABC，AB=AC，顶角A的正对角记为sadA，则sadA=。容易知道：①角的大小和角的直值也是相互唯一确定的。根据上述角度的定义，解下列问题： (1)sad60°=。 (2)sad90°＝. (3)如图所示，已知sinA = ，其中∠A为锐角，试求sadA的值。 ② 18.（2021•柯城区模拟）定义：如果三角形的一条边的高线等于该边，则该三角形称为“等角底高三角形”，该边称为等底线，这一边的高度称为轮廓线。如图：在△ABC中，CD⊥AB在D点，且AB=CD，则△ABC是等底高三角形，AB称为等底线，CD称为等高线。 【概念感知】判断：正确则打“√”，错误则打“×”。 (1) 等边三角形不可能是底和高都相等的三角形。 (2)底、高相等的三角形不能是钝角三角形。 【概念理解】如果等腰三角形是等底高高的三角形，则该三角形的三边长之比为。 【概念应用】（1）若△ABC是等底等高的三角形，等底长为2，求三角形周长的最小值。 (2) 如果等底高三角形的一侧乘以另一侧，求最小角的正弦值。 19.（2021·宁波模拟）三角形的三条边中，如果其中两条边的乘积恰好等于第三条边的平方，我们称这样的三角形为有趣三角形。这两侧的商称为正度，记为k（0＜k≤1）。 (1) 验证：正数为1的有趣三角形一定是等边三角形。 （2）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC和BD平分∠ABC，∠ACD=∠ABC。证明：△ABC①是一个有趣的三角形。 (3)如图②所示，在菱形ABCD中，点E、F为对角线BD的三等分点，DE=DC。将BD扩展到P，使得DP=BE。证明：△BCE、△FCP、△BCP是具有相同正度的有趣三角形。 20.（2021•临海城市模型）在三角形中，一个角的两条边的平方和减去该边的平方的差，称为该角的毕达哥拉斯差。 (1)概念理解：在直角三角形中，直角的勾股差为；在底长为 2 的等腰三角形中，底角的勾股差为； （2）性质探索：如图1所示，CD为△ABC的中线，AC=b，BC=a，AB=2c，CD=d，设∠ADC在△ACD的勾股差为m，则∠BDC与△BCD的毕达哥拉斯差为n； ①求m、n的值（用包含a、b、c、d的代数公式表示）； ② 尝试解释m和n互为相反数； （3）性质的应用：如图2所示，在四边形ABCD中，E点和F点分别是AB和BC的中点连接BD、DE和DF。如果 = ，并且 CD⊥BD，CD=AD，求该值。 【例1】（2022·淮安地区模拟）我们定义：等腰三角形的底边与腰部的比值称为底角的相邻对（can），如图1所示，中△ABC、AB =AC，底角∠B的邻居对记为canB，则canB==。容易知道，一个角的大小与该角的相邻对相对应。根据上述相邻角度对的定义，求解下列问题： (1) can30°=，若canB=1，则∠B= 60° ． （2）如图2所示，在△ABC，AB=AC，canB=，S△ABC=48中，求△ABC的周长。 【分析】（1）根据定义，需要can30°的值。如果要利用等腰三角形的三线统一性，可以将经过A点视为AD⊥BC，垂脚为D。根据∠B=30°，可得： BD = AB，然后利用等腰三角形的三线统一性求BC来求解。根据定义canB = 1，我们可以得到底边和腰部相等，所以这个等腰三角形是等边三角形，所以我们得到∠B = 60°； (2) 根据定义，如果要利用等腰三角形的三线统一性质，可以想到过点A画AD⊥BC，垂脚为D，canB = ，所以令BC = 8x，AB = 5x，然后用毕达哥拉斯定理表示三角形的高，然后用S△ABC = 48，列出关于x的方程来求解。 【答】解：（1）如图：经过A点，画AD⊥BC，垂脚为D，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∵∠B＝30° , ∴BD＝°＝ AB, ∴BC＝2BD＝AB, ∴can30°＝ ＝＝ , 若canB＝1, ∴canB＝ ＝1, ∴BC＝AB, ∵AB＝AC, ∴AB＝BC＝AC, ∴△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，故答案为： , 60； （2）过A点画AD⊥BC，垂脚为D，∵canB＝ ，∴＝ ，∴设BC＝8x，AB＝5x，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝BC＝4x， ∴AD＝＝3x、∵S△ABC＝48、∴BC·AD＝48、∴•8x·3x＝48、∴x2＝4、∴x=±2（负值四舍五入）、∴x =2，∴AB=AC=10，BC=16，∴△ABC的周长为36，答案：△ABC的周长为36。 【例2】（2022•柯城区学校三级模型）定义：如果三角形的一条边的高等于该边，则该三角形称为“标准三角形”。例如：在△ABC中，CD⊥AB在D点，AB=CD，则△ABC是一个标准三角形。 【概念感知】判断：正确则打“√”，错误则打“×”。 (1) 等腰直角三角形是标准三角形。 √ (2) 顶角为30°的等腰三角形是标准三角形。 × 【概念理解】如果等腰三角形是标准三角形，则三角形三边长之比为1:1: 或: :2。 【概念应用】 （1）如图所示，若△ABC是标准三角形，CD⊥AB在D点，AB=CD=1，求CA+CB的最小值。 (2) 如果标准三角形的一条边乘以另一边，求最小角的正弦值。 【分析】【概念感知】（1）可以根据等腰直角三角形的两条直角边互相垂直且相等来判断； (2)作图并讨论底座高度和腰部高度，可解； 【概念理解】当△ABC为等腰直角三角形时，AC:AB:BC=1:1:；当△ABC为等腰三角形时，AB=AC，AE⊥BC，AE=BC，令BE=x，则AE=2x。求AB=对称点A连接AB。当A、B、C共线时，AC+BC=AB。此时AC+BC的值最小。只要找到AB即可； (2)分两种情况讨论：当AC=AB、AC=CD时，过B点，令BE⊥AC交于E，假设①CD=AB=a，则AC=a，则由下式求BE=a等积法，利用毕达哥拉斯定理分别求出AD=2a、BD=a、BC=a，则可求出sin∠BCE=；当BC=AB、BC=DC时，过B点是②BE⊥AC交于E，假设CD=AB=a，则BC=a。根据毕达哥拉斯定理，分别得到BD=2a、AD=3a、AC=a。然后通过等积法得到BE=a，可得sin∠BCE=。 【答案】解答：【概念感知】（1）图1：在等腰直角三角形ABC中，AB⊥AC，∵AB=AC，∴等腰直角三角形是标准三角形，故答案为：√； （2）如图2所示，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，CD⊥AB，∵∠A＝30°，∴CD＝AC，∵CA＝AB，∴CD＝AB , ∴△ABC 不是标准三角形；如图3所示，在等腰三角形ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，AE⊥BC，此时AE>BC，∴△ABC不是标准三角形；所以答案是：×； 【概念理解】如图1所示，当△ABC为等腰直角三角形时，AC:AB:BC=1:1:；如图4所示，当△ABC为等腰三角形时，AB=AC，AE⊥BC，AE=BC，∴BE＝EC＝BC＝AE，假设BE＝x，则AE＝2x，在Rt△ABE中， AB＝x, ∴AB：AC：BC＝ : :2;所以答案是：1:1: 或 : :2； 【概念应用】 （1）如图5所示，过C点与AB作平行线，关于平行线画对称点A，连接AB。当A、B、C三点共线时，AC+BC=AB，此时AC+BC的值最小，∵AB=CD=1，∴AA=2，在Rt△ABA，AB =，∴AC+BC的最小值为； (2) 在△ABC、AB=CD、AB⊥CD、∴AC>CD、BC>CD、∴AC>AB、BC>AB中，∴△ABC的最小角为∠ACB，①如图6 ，当AC＝AB，AC=CD时，过B点，令BE⊥AC交于E，假设CD=AB=a，则AC=a，∵S△ABC=×AB×CD=×AC×BE， ∴BE=a，在Rt△ACD中，AD=2a，∴BD=AD-AB=a，在Rt△BCD中，BC=a，在Rt△BCE中，sin∠BCE=； ②如图7所示，当BC=AB、BC=DC时，经过B点，令BE⊥AC交于E，假设CD=AB=a，则BC=a，在Rt△BCD中，BD=2a， ∴AD=3a，在Rt△ACD中，AC=a，∵S△ABC＝

【例3】（2020·五华区学校三级模型）爱思考的小谦在探索两条直线的位置关系时，发现了“中超垂三角形”。即两条中线互相垂直的三角形称为“中悬三角形”。如图（1），图（2）和图（3），AM和BN是ABC的中线，AM⊥BN处于P点P，ABC等三角形都是“中间三角形”。令bc = a，ac = b，ab = c。 [特殊案例研究]（1）如图1所示，当∂Pab= 45°，c =，a = 4，b = 4;如图2所示，当∂Pab22 = 30°，c = 2，a + b = 20时； [归纳证明] 2 2 2（2）请观察（1）中的计算结果，猜测a，b和c之间的关系，用方程式表达它，并使用图3来证明您的结论。 [扩展证明]（3），如图4所示，在▱ABCD，E和F中分别是AD和BC的第三个二方点，AD = 3AE，BC = 3BF，连接AF，BE，CE和BE。 CE在E，AF和BE，AD = 3，AB = 3的交点G中找到AF的长度。 [分析]（1）分别根据右三角形的等化等质的特性查找PA和PB，根据三角形中位定理获得Mn∥AB，根据相似三角形的特性找到PM和PN，并根据毕达哥拉利亚计算定理。 ; （2）连接Mn，假设pn = x，pm = y，使用毕达哥拉斯定理分别用x和y表达a，b，c，并获得答案； （3）以AB的中点为中点H，连接FH并扩展了点P点DA的延伸线的相交，证明△ABF是“中端三角形”，可以根据（2）中的结论来计算。 [答案]解决方案：（1）在RT△apb中，∂PAB＝45°，C ＝，然后Pa＝pb＝c＝4，∵M和N分别是Cb和Ca的中点，∴Mn＝Ab＝2 。连接Mn，在RT△apb中，∂Pab＝30°，C ＝2，∴Pb＝ c ＝1，∴Pa＝＝，∴Pn＝，pm ＝，PM ＝，∴BM＝＝，AN ＝＝，∴A=， b ＝，2 2 a + b = 20，因此答案是：4; 4； 20； 2 2 2 2（2）a + b = 5c，原因如下：如图3所示，连接mn，令pn = x，pm = y，然后pb = 2pn = 2 x，pa = 2pm = 2pm = 2y，∴ bm ==，an ==，∴a= 2，b = 2，2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22222 2 2222 2 = pa + pb = 4（x + y），2 22 ∴a + b = 5c; （3）取AB的中点H，连接FH并扩展了将DA与点相交的延伸线，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD ＝BC，∴△BC，∴△BHF，∴△BHF，∴＝＝BHF，∴＝＝BHF，∴＝＝ 1，∴ap＝ bf，∵Ad＝3ae，bc ＝3bf，ad ＝3，∴aae＝ bf ＝，∴pe＝ fc，∴ pfce是平行的，是平行四边形，∵Be⊥ce，∵Be⊥ce，∴bg⊥fh，∴bg⊥fh，∵ ∥bf，ae ＝ bf，∴Ag＝ gf，∴△ABF是“中间三角形”，∴ab + af = 5bf，即3 + af = 5×（），解决方案是：af = 4。示例4]（2020·Yuelu地区学校第二级模型）定义：在△ABC中，如果有两个中线彼此垂直，那么△ABC22 22 2 2 2被称为中间三角形，而AB +BC +BC +CA被称为△ABC的平方周长为L，即L = AB +BC +Ca。 （1）如图1所示，已知ABC是一个右三角形，BD和AE分别是AC和BC的中线。如果ac = bc，则证明：△aob是一个右三角形； （2）图2，在中室三角形ABC中，AE和BD分别是BC和AC侧的中线，并且AE⊥BD在2点O中。和AB，并证明这一点。 ; （3）如图3所示，众所周知，抛物线y =与点A处的X轴的正半轴相交，在点B处与y轴相交，直线通过点B相交在点C处的抛物线片，并与x轴的负半轴相交，轴相交在点D处，而BD = CD，将AC连接到点E上的y轴E。斜三角形； ②如果ABC是正确的三角形，请找到ABC的正方形l的值。 [分析]（1）首先使用“ SAS”来证明ABE，然后证明△ABC是一个中端的三角形； （2）首先判断AC = 2AD，BC = 2BE，然后使用毕达哥拉斯定理，可以得出结论； （3）①使用二次函数首先找到点B，点A和点C的坐标，然后确定e是基于点A和点C的坐标的AC的中点，最后使用该点的中点中点三角可以通过讨论情况来解决它的定义。或者可以通过基于投影定理讨论情况来解决。 [答案]（1）证明：AC = BC，BD，AE分别是AC和BC侧面的中线，∴AD= BE，∂Bad=∂Abe，∴△Abe（SAS）∴ abd =∂bae，∴oa= ob。 ABC是一个等边三角形，AC = BC，∴AOB= 90°，AOB是右三角形的等镜。 2（2）L = 6ab。证明：如图所示，连接DE。 ∵ae，bd分别是BC和AC的中线，∴AC= 2AD，BC = 2BE，DE = AB，∴AC= 4AD，BC = 4BE，DE = AB。 222在rt△aod中，ad = oa +od，222在rt△boe中，be = ob +oe，2222∴AC +bc = 4（ad +be）2222 = 4（oa +od +od +od +ob +oe）22 = = 4（ab +de）22 = 4（ab +ab）2 = 5ab，∴l= ab +ac +bc = ab +5ab = 6ab。 （3）证明：在y =，当x = 0时，y = -2a，①点B（0，-2a）。当y = 0时，= 0,2。安排它以获取3x -4x -32 = 0。解决以获取x = - （圆形），x = 4，12∴点A（4，0）。 ∵bd= cd，y = -y = 2a，cb代替y = y =，解决方案为x =（），x = -4，12∴C（-4，2a）。从A（4，0）和C（-4，2a）的点可以看出E是AC的中点。 ∵bd= cd，∴ad和be是△abc的中间线。 ∵AOB= 90°，∴AD⊥BE，∴△ABC是一个中端三角形。 ②：从点A（4，0），B（0，-2a），C（-4，2a），我们可以得到k = a，k = -a，a，= -a，∵US，∵UB ，∴C≠90°。当∂ABC= 90°，k•k = -1时，ab bc的解为a =（丢弃负值），∴点b（0，-2），2∴l= 6ab = 6ab = 6×24 = 144。当∂Bac= 90°，k•k = -1时，ab ca solde solde to a = 2（负值被丢弃），∴点B（0，-4），2∴L= 6ab = 6 ×48 = 288。总而言之，ABC的正方形l的值为144或288。解决方案2：从点A（4，0），B（0，-2a），C（-4，2A），∵点D D是BC的中点，点E是AC的中点，∴点D点（-2,0），E（0，A）。 ∵C＜＜AOB，∴C≠90°。 2当abc = 90°，在△abd中，ob = oa•通过射击定理获得od，2∴4a= 8，求解α=（负坐姿），∴∴b（0，﹣2），2 6L = 6ab = 6×24 = 144.2当∂Bac= 90°，在△abe中，从拍摄定理oa = ob = ob•oe，2∴16= 2a，求解a = 2（负damn），（（0 b （（ 0 b （0，﹣4），2∴L= 6ab = 6×48 = 288。总而言之，ABC的平方长度L的值是144或288。[示例5]（2020•ANHUI模拟）转角三角函数，我们知道，在右三角形中，与两个边缘的尖角大小的大小为一个。大小可以在大小之间转换。同样，角落之间的连接可以在腰部三角形中建立。我们定义：等待腰部三角形和腰部的底部和腰部的邻居（can），邻居（can）带有角落的角，如图（1）在△ABC中所示，AB = AC，底角B的邻居被记住为CANB。目前，Canb =，很容易知道角的大小也是一个 - 一个。根据上面角度的邻居的定义，解决了以下问题：（1）可以30°=； （2）如图（2）所示，在△ABC，AB = AC，Canb =，S△ABC= 24，请，请，请，请，请，请，请，请，请，请，请，请，请△ABC的周长。 [分析]（1）超过 - 点A为d点D处的ADBC，根据∂B= 30°，您可以得到bd = ab，并结合腰部三角形的性质，您可以得到BC = AB ，然后获得罐头； 2）在canb =，set bc = 8x，ab = 5x，然后从s△ABC= 24，您可以获得x的值，然后找到周长。 [答案]解决方案：（1）d -point d，∵B= 30°，∴cosB=，∴BD=，AB = ab，ABC是腰围三角形，∴BC= = 30° 2bd = ab，所以30°= =; （2）在点e，∵canb =，然后设置bc = 8x，ab = 5 x，∴ae == 3x，ABC = 24，2×bc×ae = 12x = 12x = 12 x 24，solve：x =，as as ab = ac = 5，bc = 8，因此△abc的周长是18。回答问题（总共20个问题）（2022秋天•鲁戈城时期）定义：一个内角等于另一个内角的两倍，三角形，称为“双角三角形”。 （1）以下三角形必须为“双嘴三角形”②（仅序列号填充）。 ①顶角是一个腰部三角形，具有30°； ②基于腰部的右角三角形； ③有一个额定的三角形，角度为30°。 （2）如图1所示，在△abc，ab = ac = ac≥90°，沿AB 180°的边缘旋转ABC的直线以获取ABD，将DA扩展到点E，然后连接到。 ①如果bc = be，请验证：△abe为“两次三角形”； ②点P在线段AE并连接到BP。如果3C = 30°，则BP获得的两个三角形位于△abe获得的两个三角形中，一个是腰部三角形，另一个是“两次三角形”。请直接写上籍的程度。 [分析]（1）可以依次解决“双角三角形”的定义； bde =可e，可以得出结论； ②在两种情况下进行讨论，可以通过三角形内角和定理的定义以及“双角三角形”的定义来解决。 [答案]（1）解决方案：如果顶角为30°的腰围三角形，则两个底角为75°，75°，顶部角度的顶角为30°腰围三角形。腰部直角的三个角为45°，45°，90°，∵90°= 2×45°，腰部右 - 角三角形（例如∴是“双角三角形”）。其他两个角是60°，90°，∵60°= 2×30°，∴有一个30°的右角三角形，即“双角三角形”，因此答案为：②②； （2）①证明：∵ab= ac，babc =∂acb，c沿AB边缘的ABC的直线折叠180°以获取ABD，∴ABD，∴ABD，∴ABC=∂ABD，∂ABD，∂acb=∂Adb=∂Adb，， bc = bd，∴Bae= 2∂Adb，∵be= bc，∴bd= be，∴Us=∂Adb，∴ADB，∴Bae= 2∂e，△e，Abe是“ horn ”；如图所示，= 60°，②②①①，如果ABP是腰部三角形，则△BPE是“双角三角形”，∴∴abp是一个等效的三角形，∴APBB= 60°，∴10°，∴ = 120°，BPE bpe bpe它是“双角三角形”，∴Bep= 2∠ebp或∂pbe= 2∂Bep，∴Bep，∴Bep= 20°或40°;如果BPE是腰部三角形，则△ABP为“双角三角形”，∴US∴∴∴∴∴∴∴∴，∴∴ABP = pbap = 30°或∂Apb=∂Bae= 30°或∂Bae= 30°或∂Abp= 2 ∂APB或∂APB= 2B = 2 ABP，∴APB= 90°或30°或40°或80°，∴BPE= 90°或150°或140°或100°或100°，bpe是腰三角形，是腰部三角形， ∴Bep= 45°或15°或20°或40°。 15°或20°或40°。 2． （2022秋天•Yiwu学校 - 每月测试）[概念理解]，如图①中所示，在∂ABC中，如果∂Abd=∂Abd=∂dbe=∂Ebc，bd，则称为“三个点”渠的“三个点”。 ，其中BD是“邻近的AB三点线”，BE是“邻居BC三点线”。 [问题解决方案]（1），如图所示。在ABC中。 °A = 80°，∂ABC= 45°。如果ABC的三个②splin -line bd互换交流点处。 （2）如图③中所示，在ABC中。 BP和CP是BABC的邻居BC三点线和∂ACB的邻居BC Tri -line，∂BPC= 140°。寻求A的程度。 [扩展促销]（3）在△ABC中，∂ACD是△abc角，并且荷ABC的三个点线位于位于∂ACD的三个点线位于点的直线。 a = m°（m> 54），BABC = 54°。寻求BPC的程度。 （以m中的公式表示）[分析]（1）BD是相邻AB和BD的三个点线。 ∂pbc+ cpcb = 40°，因此∂ABC+∂ACB= 40°，可以获得∂ABC+∂ACB= 120°，从而获得∂A= 60°; （3）在四种情况下回答它们。 [答案]解决方案：（1）当BD为“相邻的AB三个点线”时，∂ABD=∂ABC= 15°，则∂BDC=∂Abd+∂A= 15°+80°= 95°，当它是“邻居BC三个点线”时，∂Abd'=∂Abc= 30°，则∂Bd'C=∂Abd'+∂A= 30°+80°= 110°，总而言之，籍BDC的the the程度为95°或110°； （2）∵BPC= 140°，∴Pbc+∂pcb= 40°，∵BP，CP，CP是邻国BC的BC三 - 点线和邻居BC的BC三点渠。 ，∴Pbc= babc，∂pcb=∂Acb，∴ABC+∂ACB= 40°，∴ABC+∂ACB= 120°，∴A= 60°; °，BABC = 54°，∴ACD=（M+54）°，①当BP是邻居AB的第三个类别分割时，AP是邻居AC的第三个类别分割，∂PBC=∂ABC= 36° °°°，∂pcd= cacd =（m+36）°，∴BPC=∂PCD﹣PBC = m°; ②当BP是相邻AB的第三个类分割时，AP是相邻CD的第三个类分割，并且∂PBC= CABC = 36°，∂PCD=∂ACD=（m+18）°，∴BPC=（m+18）°，∴BPC= ∂PCD﹣PBC =（M ﹣18）°;当AP是相邻AC的第三个类分割时，∂pbc=∂Abc= 18°，∂pcd=∂Acd=（m+36）°，∴BPC= ∂pcd﹣pcd﹣pbc =（m+18）° °; ④当BP是邻居BC的第三个类分割时，当AP是邻居CD的第三个类分割时，∂PBC=∂ABC= 18°，∂PCD=∂ACD=∂ACD=（M+18）°，∴ ∂bpc= bpcd cpbc = m°;总而言之，∂BPC度为M或M ﹣18或M+18或m。 3． （2022春季•最后的学校）[问题情况]我们知道：如果x = x，1 12 21 2 AB y轴，线段AB的长度为| y ﹣y |;如果y = y，则AB∥X轴和线段AB的长度为| x1 21 21 ﹣x |。 2 [扩展]现在，如果规定：平面矩形坐标系之间的两个点m（x，y），n（x，y）在任意重合系统中不重合1 12 2距离为d（m，n ) = | X +X | +| y y y |。例如：在图中，点m（中1、1）和点n（1，﹣2）。 1 2 1 2折叠距离d（m，n）= | ﹣1﹣1 |+| 1 ﹣（﹣2）| = 2+3 = 5，[应用]解决以下问题：（1）已知的已知单击E（3，2），点F（1。2），并找到D（E，F）的值； （2）已知点E（3，1），h（﹣1，n），如果d（e，h）= 6，请找到n的值； （3）已知点p（3，4），y轴上的点q，o是坐标系的原始点，△opq的面积为4。

5。找到d（p，q）的值。 [分析]（1）根据d（m，n）= |的折叠距离x ﹣x |+| y ﹣y |计算; 1 2 1 2（2）| xx |+| y ﹣y |，构建方程式求解； 1 2 1 2（3）集Q（0，m），使用三角形区域公式（m，n）= | X X X |+| y ﹣y |计算以发现它已解决。 1 2 1 2 [答案]解决方案：（1）点E（3，2），点F（1，﹣2），∴D（E，F）= | 3﹣1 |+| 2 ﹣（2 ﹣2）| = 6； （2）6E（3，1），H（﹣1，N），D（E，H）= 6，∴D（E，H）= | 3 ﹣（﹣1）|+ | 1 6n | = 6，解决：n = ﹣1或3; （3）如图所示，设置Q（0，m）。从标题的含义，•|米 | •2 = 4.5，求解m =±3，∴q（0，3）或（0，﹣3），当q（0，3），d（p，p，p，q）= | 3 0 |+| 4﹣3 | = 4，当q（0，﹣3），d（p，q）= | 3﹣0 |+| 4﹣（3）| = 10，∴d（p，q）= 4或10。4。（2022弹簧•末端）定义：在一个三角形中，如果一个角度是另一个角度的两倍，我们称这两个角为“快乐角度”，并且这个三角形称为“快乐三角”。例如：在△ABC中，∂A= 70°，∂b= 35°，然后∂A和∂B为“快乐角度”，△ABC是“快乐的三角形”。 [理解]（1）如果ABC是一个快乐的三角形，则∂A= 144°，则该三角形中的最小内角为12°； （2）如果ABC是一个快乐的三角形，则∂A= 70°，则此三角形将是最小的内角为35或°； （3）已知的∂A是快乐ABC的最小内角，并且是快乐的角度之一。尝试确定∂A的范围并解释原因； ，ad flat△abc的内角∂Bac，在bc处交给bc，cd△ABC的ABC△ABC∂BCF，将BA和DC扩展到P点，已知∂P= 30°，如果∂Bae很高兴abe abe a able a abe abe abe ，设置abae =∂α，找到∂α的程度。 [分析]（1）让最小角α，从问题的含义中，α+2α== 36°，而寻求α是您想要的； °;当∂A不是“快乐角度”时，最小角度为α，α+2α= 110°，α=（）°; （3）三角形的另一个快乐角度为2籍，第三个内角为180°∂3﹣A，然后从≤a≤180°﹣3B中，您可以得到∂a≤45°; [应用]源自问题的含义∂pac= 180°﹣22，设置∂pca= x，然后x = 2∠α30°，∂Aeb= 240°﹣3B = 2 ﹣60°，在两种情况下进行了讨论：当BAE和∂Abe快乐时，∂Bae= abe = abe或abae = 2Bee = 2Be，找到∂α= 40°;当∂Bae和∂Aeb感到高兴时，②Bae=∂Aeb或∂Bae= 2∠aaeb（舍），找到了∂= 48°。 [答案]解决方案：（1）设置最小角度为α，∵∵abc是一个快乐的三角形，∂A= 144°，∴α+2α= 180°﹣144°= 36°，∴α= 12°，SO SO答案的答案是：12; （2）当“ A为“快乐角度”时，最小角度为35°；当∂A不是“快乐角度”时，最小角度为α，∴∴∴∴∴∴∴∴αα=（）°，因此答案为：35或; （3）∂a是△abc的最小内角，其中一个是一个快乐的角度，另一个快乐角度为2籍，第三三分之一，内角为180°13B.最小的内角，∴1180°﹣3B，∴A≤45°； cae = ebae =∂α，∴pac= 180°﹣2α，设置∂pca= x，∵cd△abc dcf dcf，∴Bcd=∂cdf= x，∴CDF= x，∴Acb= 180°2x，＝ p = 30°，∴180°﹣2US ++ ﹣ ﹣∴x= 2 = 2α﹣ α﹣30°，∴Aaeb=∂α+180°﹣2x = 240°﹣3B = 3B = 180 °﹣ ﹣ ﹣（240°﹣3B）= 22α﹣60°，①当∂Bae和∂Abe快乐时，∂Bae=∂Abe或∂Bae= 2∠abe= 2∠abe，＝abe，＝abe，＝abe，＝abe，＝abe，＝abe，＝abe =（2P.（2P） α﹣60°）或∂α= 2（2βα60°），求解∂α= 40°; ∂Bae= baeb或∂bae= 2∠aeb，∵aaeb=∂eac+∂ace，∂eac=∂bae，∴Bae，∴Bae= 2∂Aeb，∴∴∴=（240°﹣3B），溶液α= 48°，总结：40°或48°。 5。（2022春季•金丘安区末端）定义：如果三角形和β的两个内角与α+2β= 100°相满足，则我们将此三角形称为“奇妙的三角形”。 （1）如图1所示，△ABC，∂​​ACB= 80°，Bd ∂ABC。验证：△ABD是“奇妙的三角形”（2）如果ABC是“奇妙的三角形”，并且∂C= 80°。验证：△ABC是一个正确的 - 角三角形； （3）如图2所示，如果ABD是“奇妙的三角形”，并且∂A= 40°，则将ABC，BD分为∂ABC，直接写入∂C的程度。 [分析]（1）根据“奇妙的三角形”的定义，在△ABD中，∂A+2 "ABD = 100°，这证明△ABD是“奇妙的三角形”。 （2）从三角形的内角，a+∂b= 100°，从△abc作为“奇妙的三角形”，获得∂c+2∂b= 100°或∂C+2∂A= 100°。计算B = 90°或∂A= 90°，这证明ABC是一个直角三角形。 （3）从三角形的内角，∂Adb+∂Abd= 140，摘自△ABC，为“奇妙的三角形∂A+2 Abd = 100°或2∂A+∂Abd= 100°，找到°C = 80 °或100度。 ABC是一个“奇妙的三角形”，∴C+2B = 100°或∂C+2“= 100°，∴B= 10°或∂A=∂A= 10°，当＝ b = 10° 10°，∂A= 90°，ABC是一个右角三角形。 2 = 30°，∴ABC= 2 = 60°，∴C= 80°;当2P.a+dabd = 100°，∂Abd= 100°﹣2B.2°= 20°，∴ = 2 40°，∴C= 100°; BC中的BC上的“好点”直接描述AB（2）的所有“好点”点D；在BC的侧面，“好点”是线段BD的长度； 3）如图3所示，ABC是⊙o的内部三角形，单击A上的H，连接CH并扩展交点。验证：oh⊥ab; ②如果oh∥bd，则⊙o的半径为r，r = 3Oh，搜索的值。边缘的高度，下垂的脚也“好”，您可以得到答案； 2 2 2（2）作为AE⊥BC，分解ABC，set bd = a，根据ad = de +ae = bd•cd•cd•cd寻求方程； 2（3）来自△ach∽dbh，ch•hd = ah•bh，与bh = ch•hd结合使用，获得证书； ①①首先确定AD是直径，然后找到AH，BH，BD，BH，CH，从而寻求比率。 [答案]解决方案：（1）如图1所示，斜AB的中点D和斜AB上的高CD D是AB边缘长度的“好点”。 （2）如图2所示，AS ae如bc在e中，在rt△abe中，tanb =，tanb =，∴ae = 3a，be = 4a，tanc =，∴ce= ae = 3a，∴3a+4a = 7， ∴a= 1，ae = ce = 3，be = 4，∴ab= 5，set bd = x，∴de= | 4﹣X |，在rt△ade中，由毕达哥拉斯定理获得，22 2 2 2 2 ad = de +ae =（4﹣X）+3，∵d d是BC侧的“好点”，2∴ ad = bd•cd = x•（7﹣X），2 2∴x•（7﹣X）=（4）x）+3，∴x= 5，x =，12是bd = 5或。 （3）如图3所示，①证明：∵点h是CD的边缘上的“好点”，在bcd中，2∴BH= CH•hd，∵CAB=∂CBD=∂CBD，∂ACD=∂Abd ，∴∴ ②连接ad，set oh = a，然后oa = 3a，从①知道它① o，∴oa= od = 3a，在rt△aoh中，它是通过获得的。 ah =，ah = bh =，oa = od，∴bd= 2a，在rt△bdh中，由毕达哥拉斯定理获得，dh ==，bh ==，bh = ch•dh•dh：∴ch=，∴，∴，∴，∴ 7． （2021秋天•鲁戈结局）[理解概念]定义：如果三角形的一侧的中间线等于三角形的一半，则将这个三角形称为半行三角形，而该中线称为半线线。 [理解和应用]（1），如图1所示，在△ABC中，AB = AC，∂Bac= 120°，尝试判断△ABC是否是半行三角形，并解释原因； [扩展和改进]（2）如图2所示，ABC，AB = AC，D是BC的中点，M是△ABC外部的一个点，如果ABC和MC，则连接到MB，如果ABC和△MBC是一半 - 三角形，AD和MD分别是这两个。三角bc的一半边缘，找到∂AMC的程度； （3）在（2）条件下，如果MD =，AM = 1，请直接写入BM的长度。 [分析]（1）根据半行三角形的定义确定； （2）在n点上aan⊥Am和mc，可以证明是aan⊥am和mc，可以证明△mab≌nac，然后am =等待腰部 - 矩形三角形，可以回答； （3）在（2）的基础上，可以看出Mb = nc，am = an = 1，在rt△MBC中，可以获得定理，2 2 2 2 2 Mb + mc = bc，可以得到MB的长度。 [答案]解决方案：（1）ABC是半行三角形。原因如下：以BC为D点，连接AD，∵AB= AC，D点D到BC的中间点，∴AD⊥BC，∵AB= AC，∂Bac= 120°，∴B=∂B= C = 30°，在RT△ABD中，∂b= 30°，∴AD= AB，∴∴ABC是半行三角形。 （2）在点n处，高点A作为a Am到mc，如图所示，∵MD是BC的BC侧，the t = bc = bc = bd = bd = cd，∴dbm =∂dmb，∂dmc=∴dcm，cbmc = 90°，相同的是true∂bac= 90°，并且∵mob=∂Aoc，∴mba=∂mca=∂mca，∵mca，∵MAC，∵MAN= 90° ，∴mab=∂NAC。 ，Ab = ac = ac，△mab≌≌nac（asa），∴Am= an，∵Man= 90°，∴Amc=∂Amc=∂Anm= 45°。 （3）从标题的含义中，可以知道bc = 2md = 3，从（2）中知道△mab≌nac（asa），∴Mb= nc，am = an = 1，∴mn=， 2 2 2在中间的RT△MBC中，可以获得毕达哥拉斯定理，MB +MC = BC，22 22∴MB +（ +MB）= 3，solve，solve，mb = 2 ﹣（负HOUSE）。因此，MB的值为2。。 8。（2021秋天•最后的舒尼）我们定义：在腰部三角形中，腰部与底部的比例称为腰部三角形的正度。如图1所示，在ABC中，AB = AC中，ABC的值是正程度。已知：在ABC中，AB = AC，如果D是△ABC侧的运动点（D，A，B，C，而不是重）。 （1）如果A = 90°，则ABC的正程度为； （2）在图1中，当d点在腰部AB上（D和A，B不重合）时，请使用标尺法规使腰部腰部。 △acd，保留图纸的痕迹；如果ACD的积极性是，请找到∂A的程度。 （3）如果a是钝角，如图2所示，△ABC的正度为△ABC的周长为22，是否存在D点，以便△ACD具有正视度？如果您存在，请找到△acd的正程度；如果没有存在，请解释原因。 [分析]（1）从腰部 - 矩形三角形的性质中，可以获得答案；令AD = X，AE = X，并找到AD = X，然后您可以将ADE作为腰部直角三角形，然后可以获得答案； （3）设置AB = 3X，BC = 5X，然后AC = 3X。发现三角形的周长x = 2，AB = 6，AC = 6，BC = 10，并在H中制作Ah⊥bc，然后BH = CH = 5，而 则寻求AH，分为两个案例：当AD = DC时，当AC = DC = 6时，您可以得到答案。 [答案]解决方案：（1）如果∂A= 90°，则ABC的正程度为：答案是：（2）使用尺子使腰部ACD，如图1所示，如图1所示AC的中等垂直垂直，AC A的AC AB在点D处的中间区域，在E。 ACD的正程度为∴，∴，∴。在rt△ade中，设置ad = x，ae = x，∴。 de = ae。ADE是右角的三角形。 °A = 45°。 （3）存在点D，因此△ACD具有正度。 △abc的正程度为，△ABC的周长为22，∴。令Ab = 3x，Bc = 5x，然后Ac = 3x。ABC的周长为22，∴3x+5x+3x = 22。=2。AAB= 6，AC = 6，BC = 10，ASAH⊥ BC在H，然后BH = CH = 5，∴Ah=。 ①当AD = DC（如图2所示）时，设置AD = DC = Y，然后HD = 5 ﹣Y，AH + HD = AD = AD，11+（5﹣YY）= y。解决方案y =，即，ad =。 ACD的正程度为。 ②当ac = dc = 6时，如图3所示，dh = dc ﹣ch = 6 ﹣5 = 1，∴da=。 ACD的正程度为。总而言之，ACD的正程度为或。 9． （最后2021年秋天的达米城）（）是一位古希腊数学家。他首先证明了的定理。定理是：图（1）。 AB，BC，CA或它们的扩展线在F，D，E中交织到三个点，然后必须= 1。以下是使用类似的三角形