全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法，超实用！

全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法，超实用！

小结：全等三角形最重要的问题就是构造全等三角形，构造两条边相等，构造两个角相等。

三角形辅助线的制作方法

图中有角平分线，两边可以画垂直线。也可以将图片对折，看看对称后的关系。

角平分线是平行线，加上等腰三角形。尝试添加角平分线和垂线，将三条线合并为一条。

线段垂直平分一条线，并且通常将线的两端连接起来。为了证明线段加倍和减半，可以测试延长和缩短。

三角形中的两个中点相连形成中线。三角形有中线、延长中线和其他中线。

1、等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形时，可以利用底边的高度，利用“三线合一”的性质来解决问题

2、中心线长度加倍：将中心线长度加倍，使延长的线段等于原中心线的长度，构造一个全等三角形。

3.在三个角平分线上添加辅助线

4、垂直平分线连接线段两端

5、使用“长截法”或“短补法”：当遇到两条线段时，它们的长度之和等于第三条线段的长度。

6、图形补全方法：如果有60度或120度的角，则在该角上加上直线，形成一个等边三角形。

7、角数为30度或60度时如何画垂直线：当三角形中的一个角为30度或60度时，可以从该角一侧的一点到另一侧画垂直线角的一侧。目的是形成30-60度。 -90特殊直角三角形，然后计算边长和角的度数，这样就可以得到数值相等的两条边或两个角。这为全等三角形的边和角相等创造了条件。

8、数值计算方法：遇到等腰直角三角形、正方形或者30-60-90的特殊直角三角形、40-60-80的特殊直角三角形时，总是计算边长和度数的角度，这样就可以获得两个数值相等的边或角，从而为证明全等三角形的边和角之间创建相等条件。

辅助线的常用方法有以下几种：最重要的一种是构造全等三角形，构造两条边相等、两角相等。

遇到等腰三角形时，可以计算底边的高度，利用“三线合一”的性质来解决。思维方式是全等变换中的“折叠”方法，构造全等三角形。

当遇到三角形的中线时，将中线的长度加倍，使延长的线段的长度等于原中线的长度，构造全等三角形。所采用的思维方式是全等变换中的“旋转”方法来构造全等三角形。

遇到角平分线时添加辅助线的方法有3种。 (1) 从角平分线上的某一点向角两边画垂直线。使用的思维模式是三角形全等变换中的“折叠”，所以考查的知识点通常是角平分线的性质定理或逆定理。 (2)在角平分线上一点作垂线与角平分线上的垂线与角两边相交，构成一对全等三角形。 (3)可以从角的顶点处截取角两侧等长的两点，然后从这两点向角平分线上的一点画边，构造一对全等三角形。

通过图形上的某个点绘制特定的平分线以构造全等三角形。所采用的思维方式是“平移”或“全等变换”中的“翻转折叠”。

截断法和不足法的具体方法是从某条线段截取一条线段使其等于某条特定线段，或者将某条线段延长使其等于某条特定线段，然后使用三角形全等的相关性质来解释。这种方法适用于证明线段的和、差、倍数、分类等问题。

如果已知某条线段的垂直平分线，则可以从垂直平分线上的一点到该线段的两个端点画一条直线，形成一对全等三角形。

特殊方法：在解决与三角形定值相关的问题时，我们常常将从某一点到原三角形顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识来解决问题。

01

双倍长度中线（线段）全等

例1.（“希望杯”测试题）已知图中△ABC，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围为。

例2，如图所示，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF、D为中点。尝试比较BE+CF 和EF 的大小。

例3、如图所示，在△ABC中，BD=DC=AC，E为DC的中点。证明：AD平分∠BAE。

应用：

1、（崇文二模型）以AB、AC两侧为腰，分别向外画等腰Rt、等腰Rt，连接DE，M、N分别为BC、DE的中点。探究：AM和DE之间的位置关系和数量关系。

(1)如图①所示，当为直角三角形时，AM与DE的位置关系为，线段AM与DE的数量关系为；

(2) 将图①中的等腰Rt绕A点(0AD+AE.)逆时针方向旋转。

04

在角平分线的帮助下创建全等

1、如图所示，已知在△ABC中，∠B=60°，且△ABC的角平分线AD和CE交于O点。验证：OE=OD

2、如图所示，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC平分BC，DE⊥AB在E中，DF⊥AC在F中。

(1)解释BE=CF的原因； (2) 若AB=a，AC=b，求AE、BE的长度。

应用：

1、如图①所示，OP为∠MON的平分线。请利用此图，以OP所在直线为对称轴，画一对全等三角形。请参考制作全等三角形的方法并回答以下问题：

(1)如图②所示，在△ABC中，∠ACB为直角，∠B=60°，AD、CE分别为∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE交于F点。判断并写出FE和FD的数量关系；

（2）如图③所示，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，并且（1）中的其他条件不变，那么（1）中的结论仍然成立吗？如果属实，请证明；如果不正确，请解释原因。

05

旋转

例1 在正方形ABCD中，E是BC上的点，F是CD上的点，BE+DF=EF，求∠EAF的次数。

例2 D是等腰斜边AB、DM⊥DN、DM、DN分别与BC、CA相交于点E、F的中点。

(1) 绕D点旋转时，证明DE=DF。

（2）若AB=2，求四边形DECF的面积。

例3 如图所示，△ABC为边长为3的等边三角形，△BDC为等腰三角形，∠BDC=120°。以D为顶点作60°角，使其两条边与AB相交于M点，与AC相交于N点并连接MN，则ΔAMN的周长为；

应用：

1、已知四边形中，ABCD，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，其两条边分别与AD、DC相交（或它们的延长线）在 E、F 处。

当∠MBN绕点旋转到AE=CF时（如图1所示），很容易证明AE+CF=EF。

当∠MBN绕点旋转到AE≠CF时，上述结论在图2和图3两种情况下是否成立？如果属实，请提供证据；如果不成立，线段AE、CF、EF之间的数量关系是什么？请写下你的猜想，无需证明。

3、AB、AC位于等边△ABC两侧的直线上，分别有两点M、N，D为△ABC外点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD =直流电。研究：当M、N分别沿直线AB、AC运动时，BM、NC、MN之间的数量关系以及△AMN的周长Q与等边形△ABC的周长L的关系。

(一)如图1所示，当M、N点分别位于AB、AC边，且DM=DN时，BM、NC、MN的数量关系为；此时Q/L=；

（二）如图2所示，点M和N分别在边AB和AC上，当DMDN时，猜想（一）中提出的两个结论是否仍然成立？写下你的猜想并证明；

(三)如图3所示，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，

若AN=x，则Q=（用x、L表示）。

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