五点差分格式.pptx

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第三章 椭圆方程的差分格式 §3.1 正方形面积方程边值问题的微分模拟 假设 Ω 是 xy 平面上有正方形边界的有界面积，考虑方程的第一个边值）问题 l, m +1l– 1,ml , ml+1 , ml , m–1 网格节点(l, m)处的二阶中心差商代替二阶导数 -Ul, m+1 -Ul–1,m 4U l ， m -U l+1 , m-Ul, m– 方程的五点差分格式 (3.6) 的截断误差为 O(h2)。设方程的五点差分格式为(3.8)，即例1采用五点差分格式求解方程在区域内的近似解，边界值为：take。解网格点如图 u(1,4)=180 u(2,4)=180 u(3,4)=180 U7 U8 U9 U4 U5 U6 U1 U2 U3u(4,3)=0u (4 ,2)=0u(4,1)=0u(0,3)=80u(0,2)=80u(0,1)=80u(1,0)=20 u(2,0)=20 u( 3,0)=20 矩阵方程AU=K，K由边界条件确定，解为U = [U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9]'=A-1K = [55.7143 43.2143 27.1429 79.6429 70.0000 45.3571 112.8571 111.7857 84. 2857 ]T 密化网格，取 h = 0.5 定义向量为未知函数值，从左到右、自下而上按自然顺序排列，则 (M-1) 2 个线性方程正方形区域内的内部节点 Ω 写成矩阵方程 AU=K，其中 K 由边界条件确定。 §3.2 边值问题的微分模拟表示函数u沿边界外法线方向的导数。法向量未定义在正方形的四个顶点处。取平均值。值代替。

讨论左边界x = 0上导数边界条件的微分模拟，并通过点(0, m)的五点差分格式消去U-1, m，得到0, m+1-1, m0， m1, m0, m-1 边界 x = 0 (3.14) 边界 x = 1 (3.15) 边界 y = 0 (3.16) 边界 y = 1 (3.17) 边界 x = 0 边界 x = 1-UM , m+14UM , m-UM、m-1-U0、m+14U0、m-U0、m-1-2UM-1、m -2U1、m 边界 y = 1 边界 y = 0-Ul-1、M 4Ul、M -Ul +1, M-2Ul, 1-2Ul, M-1-Ul-1, 04Ul, 0-Ul+1, 0在顶点(0, 0)处，取偏导数的平均值作为外法线方向导数并用 a 阶中心差商代替顶点(0, 0)处的导数，五点差格式为 0,1-1,00,01,00,-1 在四个顶点(0 ,0)(0,M)( M, 0) (M, M) 例1 求解单位面积Ω上的方程的问题。网格节点如图所示。顶点 U4U5，内部点 U6，边界点。矩阵方程为。则矩阵方程为 §3.3 Mixed () edge Value 示例1 使用五点差分格式求解方程在区域内的近似解。边界值为：取。

解网格节点如图 u(1,4)=180 u(2,4)=180 u(3,4)=180 U10 U11 U12 U7 U8 U9 U4 U5 U6u(0,3)=80u (0 ,2)=80u(0,1)=80u(0,0)=80u(4,3)=0u(4,2)=0u(4,1)=0 u(4,0)=0U1 U2 U3 求解矩阵方程 AU = KU= [71.8218 56.8543 32.2342 … 75.2165 61.6806 36.0412… 87.3636 78.6103 50.2502… 115.6276 115.1468 86.3492]T 作业： 1 P.115 例3.1 取h=1/3，并使用五点差格式编写解节点 具有 Ul、m 值的线性方程组和矩阵方程组。 2. P.159 练习 3 2