三角形常用辅助线（1）

三角形常用辅助线（1）

当三角形与辅助线相交时（1）

疑问升华，惊喜不断

全等三角形常用的辅助线

2023 年日

全等三角形是初中数学的重要内容之一，也是今后学习其他知识的基础。判断三角形全等的公理包括SAS、ASA、AAS、SSS和HL。如果给定的条件充分，则可以根据相应的公理直接证明。但如果给定的条件不完备，则需要根据已知条件结合相应的公理。分析公理，先推导缺失的条件，然后证明。对于一些较难的证明题，需要构造适当的全等三角形，将条件相对地集合在一起，然后进行等价代入，这样就可以变得容易了。

如何找到全等三角形：

（1）从结论出发，找出待证明的两条相等的线段（或两个角）位于哪两个可能的全等三角形中；

（2）可以从已知条件出发，根据已知条件判断哪两个三角形全等；

（3）综合考虑条件和结论，看哪两个三角形全等；

(4)如果以上方法都不可行，可以考虑添加辅助线来构造全等三角形。

嘴

战术

三角形

图中有角平分线，两边可以画垂直线。

也可以将图片对折，看看对称后的关系。

角平分线是平行线，加上等腰三角形。

尝试添加角平分线和垂线，将三条线合并为一条。

线段垂直平分一条线，并且通常将线的两端连接起来。

线段和一倍半的和与差可以通过延长或缩短来测试。

将线段和差分不等式移动到同一个三角形。

三角形的两个中点相连形成中线。

三角形有中线、延长中线和其他中线。

从角平分线考虑的辅助线

公式：

2023 年日

图中有角平分线，两边可以画垂直线。也可以将图片对折，看看对称后的关系。角平分线是平行线，加上等腰三角形。尝试添加角平分线和垂线，将三条线合并为一条。

角平分线有两个性质：

一个。对称;

b.角平分线上的点到角两边的距离相等。通常有两种方法来创建角平分线的辅助线。

① 从角平分线上的一点向两侧画垂线；

②用角平分线构造对称图形（例如，将一侧的长边剪去短边）。

一般情况下，当出现直角或垂直等情况时，一般考虑垂直线；在其他情况下，则认为构建的是对称图形。至于选择哪种方法，要结合问题图形和已知条件。

01

1.截取与一致性

基本图形：

如图所示，∠AOC=∠BOC。如果取OE=OF，连接DE和DF，则有△OED≌△OFD，这为我们证明线段和角度相等创造了条件。

示例问题+练习

练习：已知：如△ABC所示，∠C=2∠B，AD平分∠BAC，证明：AB-AC=CD

练习：已知：如△ABC所示，∠C=2∠B，AD平分∠BAC，证明：AB-AC=CD

02

2. 从角平分线上的点向角两侧画垂线，使其全等

基本图形：

如图所示，从角平分线上的一点到角两边画垂线。利用角平分线上的点到两边的距离相等的性质来证明该问题。

示例问题+练习

练习：如图所示，在△ABC中，∠A=90，AB=AC，∠ABD=∠CBD。

验证：BC=AB+AD

03

3. 通过构造角平分线的垂线来构造等腰三角形。

基本图形：

从角一侧的一点，引垂线到角的平分线，并与角的两边相交，即可得到等腰三角形。垂直足为底面中点，角平分线为底面中点。中线和高度用于利用中线的属性和等腰三角形的三条线的属性。 （如果题中存在垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。

示例问题+练习

等腰

04

4、取角平分线上的一点作为角另一边的平行线

基本图形：

当存在角平分线时，常通过角平分线上的一点画一条与角的一侧平行的线，构成等腰三角形。或者，可以通过绘制一条平行线来构造等腰三角形，该平行线是通过一侧的点的角平分线，并与另一侧的反向延长线相交。如图4-1和图4-2所示。

示例问题+练习

，辅助线从中点思考

公式：

2023 年日

三角形中的两个中点相连形成中线。三角形有中线、延长中线和其他中线。

在三角形中，如果已知一点是三角形某条边的中点，那么首先应该想到三角形的中线、中线、重延长中线及其相关属性（三角形中线的属性）直角三角形的斜边、等腰三角形的底边中线属性），然后通过探索，找到问题的解决方案。

01

1、中线将原三角形分成两个面积相等的小三角形。

基本图形：

如图所示，AD为ΔABC的中线，则SΔABD=SΔACD=SΔABC（因为ΔABD和ΔACD底边相同，高度相同）。

示例问题+练习

例子。如图2所示，在ΔABC中，AD为中心线。将AD延伸到E，使得DE=AD，DF为ΔDCE的中心线。已知ΔABC的面积为2，求：ΔCDF的面积。

02

2、当存在以线段中点为端点的线段时，往往将线段延长并加倍，构造全等三角形。

基本图形：

如图所示，AD为ΔABC的中线。如果取OE=OF，连接DE和DF，则有△OED≌△OFD，这为我们证明线段和角度相等创造了条件。

03

3.中心线重合法

基本图形：

如图所示，AD为ΔABC的中线，∠ADC=∠BDC。如果取DE=AD，连接BE，则有△ADC≌△EDB，这就为我们证明线段和角度相等创造了条件。

实践：

在△ABC、AB=5、AC=3中，求中线AD的取值范围

提示：画出图形，将中线AD的长度加倍，用三角形两条边之和大于第三条边

04

4. 中点+垂直=全等

基本图形：

如图所示，AD为ΔABC的中心线。由CF⊥AD和BE⊥AD，我们有△OEB≌△OFC，这为我们证明线段和角度相等创造了条件。

练习：已知△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC延长线上，DE与BC交于F，DF=EF。验证：BD=CE

方法一：用D计算DG∥AE并交叉BC至G证明ΔDGF≌ΔCEF

方法二：画EG∥AB与BC过E于G交的延长线，证明ΔEFG≌ΔDFB

方法三：在G处通过D画出DG⊥BC，在H处通过E画出EH⊥BC的延长线，并证明ΔBDG≌ΔECH

, 训练时间