【初中数学】八年级上册教学视频

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“三角形”

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第15章“分数”

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2018年秋季八年级数学（第一部分）知识点

第11章：三角形

1.三角形的概念

由不在同一直线上的三条线段首尾相连所组成的图形称为三角形。

2.三角形按边分类

3.三角形三边的关系（重点）

三角形任意两条边的和都大于第三条边。三角形任意两条边之差小于第三条边。

数学表达式是：记住三角形三边的长度是a、b、c，那么a+b>c或cb<a。

已知三角形两边的长度分别为a和b。求第三边长度的范围：|ab|＜c＜a+b

4. 三角形的高

从△ABC的顶点到其对边BC所在的直线作垂线。竖脚为D。则线段AD称为△ABC的边BC的高。

三角形的三个高相交于一点，该点称为“三角形的垂直中心”。

5. 三角形的中线

将△ABC的顶点A连接到与其相对的对边BC的中点D。所得到的线段AD称为△ABC的边BC的中线。

三角形的中线可以将三角形分成两个面积相等的小三角形。

6. 三角形的角平分线

如果∠A的平分线与对边BC相交于D点，则线段AD称为三角形的角平分线。

7. 三角形是稳定的

8.四边形和多边形不稳定

要使多边形稳定，方法是将多边形分成三角形，使多边形变得稳定。

9. 三角形内角和定理：三角形的内角和是180°。

10.直角三角形两个锐角的关系

直角三角形的两个锐角互补（加起来为 90°）。

具有两个互补角的三角形是直角三角形。

11.三角形外角的含义

三角形的一条边与另一条边的延长线所成的角称为三角形的外角。

12.三角形外角的性质

三角形的外角等于其两个不相邻内角之和。

三角形的外角大于与其相邻的任何内角。

14.多边形的概念

在平面中，由一些首尾相连的线段组成的图形称为多边形，多边形的相邻两条边所成的角称为它的内角。多边形的一条边与其邻边的延长线所成的角称为外角。

连接多边形两个不相邻顶点的线段称为多边形的对角线。

n边多边形从一个顶点开始的对角线的条数为(n-3)，所有对角线的条数为。

15. 凸多边形

画一条直线，多边形的任意边都位于该直线上。如果多边形的所有其他边都在直线的同一侧，则该多边形是凸多边形。

16.正多边形

等角、等边的多边形称为正多边形。 （这两个条件缺一不可，除了三角形，因为如果三角形的三个内角相等，那么必定有三条相等的边，反之亦然）

所需问题类型：

① 说出多边形的边数，求出通过某个顶点的多边形对角线的条数或求出多边形所有对角线的条数

解法： 一个n边多边形从一个顶点开始的对角线条数为(n-3)，所有对角线条数为。只需将边数代入公式即可。

17.n边多边形内角和定理

n 边多边形的内角和为 (n-2)∙180°

18.n边多边形外角和定理

无论多边形的形状和边数如何，多边形的外角总和等于 360°。

第12章全等三角形

1.全等三角形

两个完全重叠的三角形称为全等三角形。三角形可以通过平移、折叠和旋转而全等。

2.全等三角形有什么性质？

(1) 全等三角形的对应边相等，对应角也相等。

(2) 全等三角形的周长和面积相等。

(3)全等三角形对应边的中线、角平分线、高分别相等。

3.全等三角形的确定

并排：三个边相等的两个三角形全等（可缩写为“SSS”）

角边：两条边及其夹角对应两个全等的三角形（可简写为“SAS”）

角边角：两个角和其包边相等的两个三角形全等（可简写为“ASA”）

Angle-Angle Side：两个角与其中一个角的对边相等的两个三角形全等（可缩写为“AAS”）

斜边和直角边：斜边和直角边对应两个相等的全等直角三角形（可缩写为“HL”）

4.证明两个三角形全等的基本思想：

2.角平分线：

1.（性质）角平分线上的一点到角两边的距离相等。

2、（判断）从角的内部到角两侧等距的点在角的平分线上。

3、学习全等三角形时，应注意以下问题：

（一）要正确区分“同边”和“对边”、“同角”和“对角”的不同含义；

(2)当两个三角形全等时，应将表示相应顶点的字母写在相应的位置上；

(3)“三个对应角相等”或“有两条边且其中一个对角相等”的两个三角形不一定全等；

(4)时刻注意图形中隐含的条件，如“公角”、“公共边”、“对角”

第13章轴对称

1.轴对称图形

1.将图形沿直线折叠。如果直线两边的部分能完全重合，则该图形称为轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时候我们也说这个图形关于这条线（轴）对称。

2.沿某条直线折叠图形。如果它能与另一个图形完全重合，则称这两个图形关于这条直线对称。这条直线称为对称轴。折叠后重叠的点就是对应点，称为对称点。

4. 轴对称的性质

①关于某直线对称的两个图形是全等图形。

② 若两个图形关于某直线对称，则对称轴为任意一对对应点所连线段的垂直平分线。

③轴对称图形的对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线。

④如果连接两个图形对应点的连线被同一条直线垂直平分，则两个图形关于该直线对称。

2.线段的垂直平分线

1、穿过线段中点并垂直于该线段的直线称为该线段的垂直平分线，也称为垂线。

2、线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。

3. 与线段两个端点等距的点，在线段的垂直平分线上

3、用坐标表示轴对称 总结：在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数。绕y轴对称的点的横坐标彼此相反，纵坐标相等。

关于x轴对称的点(x,y)的坐标是(x,-y)。

关于y轴对称的点(x,y)的坐标是(-x,y)。

2、三角形三条边的垂直平分线交于一点，该点到三角形三个顶点的距离相等。

4.知识点回顾（等腰三角形）

1.等腰三角形的性质

①.等腰三角形的两个底角相等。 （等边角）

②.等腰三角形的顶角平分线、底边中线、底边高互相重合。 （三行合一）

2、等腰三角形的确定：

如果三角形有两个相等的角，则这些角的对边也相等。 （等角对边）

5.知识点复习（等边三角形）

1、等边三角形的性质：

等边三角形的三个角都相等，每个角都等于600。

2、等边三角形的确定：

①三个角相等的三角形是等边三角形。

② 内角为 600 的等腰三角形是等边三角形。

3. 在直角三角形中，如果锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

第14章整数的乘法、除法和因式分解

一。复习知识点

一、主要知识：

电源的运行特性：

am·an＝am＋n（m、n为正整数）

相同底数的幂相乘时，底数不变，指数相加。

=amn（m、n为正整数）

求幂时，底数保持不变，指数相乘。

(n为正整数)

乘积的幂等于因子幂的乘积。

=am-n(a≠0，m和n均为正整数，且m>n)

同底数的幂相除时，底数不变，指数相减。

零指数幂的概念：

a0＝1（a≠0）

任何不等于 0 的零次方数都等于 l。

负指数幂的概念：

ap=(a≠0,p为正整数)

-p（p 是正整数）指数的任何不等于零的数的幂等于该数的 p 指数的倒数。

也可以表示为：=（m≠0，n≠0，p为正整数）

单项式的乘法规则：

通过将系数和幂乘以与乘积相同的基数来乘以单项式

因素;对于仅包含在单项式中的字母，其指数用作乘积的因子。

单项式和多项式的乘法规则：

要将单项式和多项式相乘，请分别将单项式和多项式的每一项相乘，然后将所得的乘积相加。

多项式和多项式的乘法规则：

要进行多项式相乘，首先将一个多项式的每一项乘以另一多项式的每一项，然后将所得乘积相加。

单项式的除法规则：

对于单项式除法，分别除以相同基数的系数和幂作为商的因子：对于仅包含在被除数​​中的字母，使用其指数作为商的因子。

多项式除以单项式的规则：

要将多项式除以单项式，请首先将多项式的每一项除以单项式，然后将所得商相加。

2、乘法公式：

① 平方差公式：(a+b) (ab)=a2-b2

文本语言描述：两个数的和乘以两个数的差等于两个数的平方差。

②完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2

(ab)2=a2-2ab+b2

文本语言说明：两个数之和（或差）的平方等于两个数的平方和加上（或减去）两个数乘积的两倍。

3.因式分解：

保理的定义。

将多项式转换为多个整数的乘积称为多项式因式分解。

要掌握其定义，应注意以下几点：

(1)分解对象是多项式，分解结果必须是乘积的形式，并且乘积的因子必须是整数。这三个要素缺一不可；

(2)因式分解必须是恒等变形；

(3)因式分解必须分解到每个因式都无法分解为止。

理解整数因式分解和乘法之间的内在关系。

因式分解和整数乘法是倒数变换。因式分解是将和与差转换为乘积的形式，而整数乘法是将乘积转换为和与差的形式。

2. 熟练掌握常见的因式分解方法。

1、公因子的制定方法

(1)掌握公因子法的概念；

(2) 制定公因数法的关键是求公因数。公因数的构成一般有三部分：①系数——每一项系数的最大公约数； ② 字母——各术语中包含的相同字母； ③ 索引——同一字母使用的最少次数；

(3)公因数法的步骤：第一步求公因数；第二步是提取公因子并确定另一个因子。需要说明的是，提取公因子后，另一个因子的项数与原多项式的项数一致。这可以用来检查是否有缺失的术语。

（4）注意事项：①提取公因子后，每个因子应是最简单的形式，即分解到“底层”； ②若多项式第一项的系数为负，一般应加“-”号，使括号内第一项的系数为正。

2、公式法

用公式法分解因数的本质就是将整数中的乘法公式反过来使用；

常用公式：

①平方差公式：a2-b2=(a+b)(ab)

②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2

a2-2ab+b2=(ab)2

第15章分数

1、分数的定义：如果A和B代表两个整数，且B包含字母，则该式称为分数。

2. 有意义和无意义分数的条件：

有意义分数的条件：分数的分母不等于0；

分数无意义的条件：分数的分母等于0。

3、分数值为零的条件：

当分数的分子等于0且分母不等于0时，分数的值为0。

（只有分数有意义才可以考虑分数的值，所以分数BA为0的条件是A=0，B≠0。）

（分数值为0的条件是：分子等于0，分母不等于0，两者缺一不可。先找到使分子等于0的字母的值，然后查看

检查这个字母的值是否使分母的值为0。当分母的值不为0时，就是所需字母的值。 ）

1、分数的基本性质：分数的分子和分母乘（或除）一个不等于0的整数，分数的值保持不变。

表示为

()，其中 A、B、C 是整数

注：（1）“C是不等于0的整数”是对分数基本性质的约束； （2）应用分数的基本性质时，必须深刻理解“相同”的含义，避免只乘分子（或分母）的错误；

(3)如果分数的分子或分母是多项式，应用分数的基本性质时，必须先将分子或分母用括号括起来，然后乘或除同一个整数C；

(4)分数的基本性质是约简、一般分数和分数变号的基础。

5. 分数的普通分数：

与分数类似，利用分数的基本性质，在不改变分数值的情况下，将分子和分母分别乘以适当的整数，将几种不同的分母转换成分数

具有相同分母的分数称为公分数。

公分母的关键是确定几个表达式的最简单公分母。当多个分数为公分母时，通常取每个分母中所有因数的最高次幂的乘积作为公分母

分母称为最简公分母。求最简单公分母时应注意以下几点：

（一）“各分母所有因数的最高次方”是指选取指数最大的次方作为出现的任意字母（或含有字母的公式）的底数；

(2)若各分母的系数均为整数，则通常取其系数的最小公倍数作为最简单公分母的系数；

(3)如果分母是多项式，一般应先分解因子。

6. 分数约简：

就像分数一样，根据分数的基本性质，在不改变分数值的情况下，消除分数分子和分母中的公因数。这种分数变形称为

进行分数约简。约简后，分数的分子和分母不再含有公因数，这样的分数称为最简公因数。

约简的关键是求分数分子和分母的公因数。

（1）化简分数时，要注意分数的分子和分母都是乘积的形式；当分子和分母是多项式时，分子和分母通常是

因式分解，然后减少；

(2)求公因数的方法：

①当分子和分母都是单项式时，先求分子和分母系数的最大公约数，然后求同一字母的最小幂。他们的产品是

是一个公因数；

②当分子和分母都是多项式时，先对多项式进行因式分解。

常见错误：（1）当分子或分母为公式时，应将其视为一个整体，容易造成漏乘（或漏除）；

(2)对公式进行变形时，要注意分子、分母的符号变化。一般分子或分母前的“-”应放在分数线之前；

（3）确定几个分数的最简单公分母时，要防止漏掉只出现在一个分母中的字母；

7. 分数运算：

分数相乘规则：分数相乘时，用分子的乘积作为乘积的分子，用分母的乘积作为乘积的分母。

分数除法规则：用一个分数除以一个分数，将除法公式的分子和分母的位置颠倒，然后乘以被除数。

用公式表示：

=;==

提示： (1) 分数乘分数。如果分子和分母都是单项式，可以先将分子和分母分别相乘，然后消除公因数，

化为最简分数；如果分子和分母是多项式，首先转换分子和分母

分解分母中的公因数，看能否减少，然后相乘；

(2) 当分数乘以整数时，整数和分数必须是

分子相乘作为乘积的分子，分母保持不变。

（3）分数除法可以转化为分数乘法；

(4)分数乘除混合运算统一为乘法运算。

①分数乘除混合运算的顺序与分数混合乘除运算的顺序相同，即从左到右的顺序，如果有括号，则先计算括号内的项；

②进行分数乘除混合运算时，应注意各分数中分子、分母符号的处理，可先确定乘积的符号；

③分数混合乘除运算的结果必须化简为最简分数（分数的分子和分母没有公因数）或整数的形式。

分数相乘规则：分数相乘时，必须分别增大分子和分母。

用公式表示：（其中n为正整数）

注意：（1）求幂时，一定要在分数后面加上括号；

(2)分数求幂时，求幂结果的符号与有理数相同，即正分数的任意次幂均为正；负分数的偶次幂为正，奇次幂为负；

(3)分数求幂时，分子和分母应视为一个整体；

(4) 当一个公式同时含有分数的乘方、乘方和除法时，应先计算乘方，然后计算乘方和除法。当存在多项式时，应先对因子进行因式分解，然后再进行约简。

分数加法和减法规则：

规则：同分母分数的加减。如果分母不变，则将分子相加或相减。

表示为：ba±bc=ba±c

规则：不同分母的分数相加、相减时，先化为公分母，再化为同分母。

分数，然后是加法和减法。

表示为：ba±dc=bdad±bdbc=bdad±bc

注：（1）“分子加减”是指将每个分子作为一个整体进行加减，即每个分子先加括号，后减。当分子是单项式时，括号可以省略；

(2)不同分母的分数加减法时，关键是“先补完分数”。确定了最简公分母后，必须注意分数中符号的处理，尤其是减分子时。注意分子。完整性；

（3）操作顺序合理、步骤明确；

(4) 运算结果必须转换为最简单的分数或整数。

分数的混合运算：

分数混合运算的关键是理解运算顺序。它与分数的加、减、乘、除、幂的混合运算相同。先计算乘方，然后计算乘法和除法，最后计算加法和减法。如果有括号，就先做。括号内的计算结果应转换为整数或最简分数。

8、任何不等于0的数的零次方都等于1，即；当n为正整数时，(

注意：当幂指数为负整数时，最终计算结果必须转换为正整数。

9. 整数指数幂：

如果m和n是正整数，a≠0，am÷am+n=am.anam=an1

又因为 am÷am+n=am-﹙m+n﹚=an，所以 an=an1

一般情况下，当n为正整数时，an=an1(a≠0)，即an(a≠0)为an的倒数，从而使指数的取值范围扩展到所有整数。整数指数幂可以具有以下运算属性：（m、n 是整数）

(1) 同底幂的乘法：；

(2) 电源功率：；

(3)产品功率：；

(4)同基权力划分：(a≠0)；

(5) 商的幂：； (b≠0)

规定：a0=1（a≠0），即任何不等于0的零次方都等于1。

10、分数方程：分母中含有分数和未知数的方程称为分数方程。

分数阶方程的解：

(1)解分数式方程的基本思维方法是：分数式方程---→积分方程。

(2)求解分数方程的一般方法和步骤：

①去掉分母：即方程两边同时乘以最简公分母，根据方程的基本性质，将分数方程转化为积分方程；

②求解该积分方程；

③ 检验：将积分方程的解代入最简公分母。最简单公分母不等于0的解就是原方程的解。最简公分母等于0的解不是原方程的解，也就是说原分数方程无解。

注意：①去掉分母时，将等式两边各乘以最简公分母，不要遗漏没有分母的项；

② 解分数方程一定要查根，别忘了！

求解分数方程的步骤：

(1)能简化的先简化； (2) 方程两边乘以最简公分母，化为积分方程； (3) 求解积分方程； (4)试根。

分数阶方程检验方法：将积分方程的解带到最简单的公厘米

如果最简单公分母的值不为0，则积分方程的解就是原分数方程的解；否则，该解不是原分数方程的解。

11. 含有字母的分数方程的解：

数学公式中的字母不仅可以代表未知数，还可以代表已知数。包含已知字母个数的分数方程的解法是去掉分母，求解积分方程，并检验这三个步骤。需要注意的是，你需要确定哪个字母代表未知数，哪个字母代表未知数，同时还要注意题目的限制条件。计算结果是用已知数来代表未知数，所以不要混淆。

12. 使用分数方程解决应用题的步骤是：

(1)复习：复习题意； (2)查找：查找等式关系； (3)假设：假设未知数； (4)栏：列出分数方程； (5)解法：求解该分数式方程； （6）检验：要检验根是否为所列分数方程的解，以及根是否符合题意； (7)答案：写出答案。

应用题有多少种类型；基本公式是什么？

基本上有五种类型：

(1)行程问题：

基本公式：距离=速度×时间。旅程问题分为遭遇问题和追赶问题。

(2)数值问题：在数值问题中，需要掌握十进制数的表示方法。

(3)工程问题的基本公式：工作量=工作效率×工作时间。

(4)顺流与逆流问题：v花水=v静水+V水。

v 逆水 = v 静水 - v 水