名师支招：全等辅助线专题2——倍长中线

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奥数国家级教练员及特级教练员4名

老师们组队授课。

写在前面

同余证明是几何学的真正入门，许多需要制作辅助线的难题逐渐显现。因此，我们计划用三个讲座来完成三大类。本讲作为第二大类，介绍双长中线法。

如果你想把中线的长度加倍，大多数时候是因为问题已经包含了中点的条件。您选择将中线的长度加倍。这样就可以构造出两对相等的边，也可以构造出相反的顶角。首先证明全等，并用对应边或对应角。等式，为后续证明铺平道路。

特别提醒：本讲座中，有些例子需要等边等角或等角等边的知识。这个还没有教过，但相信大部分学生都能接受。

一。求边数之间的关系

分析：

本题要求三角形一条边的范围。不难想到，这涉及到三角形三边的关系。不过这里的AC、AB、AD并不在同一个三角形内，所以无法直接求出。必须进行适当的转换。由于题中明确给出了中线，所以将中线长度加倍，构造全等，将AC转化为一定的线段，与AB、AD组成三角形。

分析：

在这道题中，直接发现BE、EF、CF之间的关系是非常困难的。三个线段不在同一个三角形内。受到上一个问题的启发，有的同学可能会想到双长中线AD。不过这只能将AC转换为某个线段，与CF无关。因此，当我们看到中点D时，我们一定也会想到双倍长度的“隐藏”中线FD。然后联系DE，DF是角平分线，“相邻补角的角平分线相互垂直”，∠EDF是90°，我想到了转换EF来达到将三个线段转换成同一个三角形的目的。

概括：

以上两个问题都是探讨双方的数量关系。借助双长中线，构造180°的SAS型全等旋转，将不是同一个三角形的边进行变换，使它们可以组成三角形，从而解决问题。

这就要求学生的思维能力比较高。不仅是看到中线的时候，有时候看到中点的时候也需要想到这个辅助线的方法。

二。等待的时候证明一下

分析：

这道题是个经典老题，解法多种多样。显然图中的△BDF和△ECF并不全等，无法直接求得BD=CE。然后需要变换其中一条边。考虑到F是DE的中点，加上对顶角的存在，已经存在一对边、一对角等，很容易构造全等。你可以添加另外一对角等，或者一对边等，这里我们提供2种方法。

分析：

要证明等价，是否可以通过证明同余直接得到分析的第一步，显然是不可能的。认为AD是△ABC的中心线，则应将中心线的长度加倍，并尝试将AC变换为与BF相同的三角形。

分析：

这题其实是在上题的基础上，去掉边BF，也就是把“中线”擦掉，只留下中点E，多加一个AD，所以方法应该是一样的。

概括：

例2和例3及其变体都是等式的证明。但它们不能直接通过同余获得，需要使用双长中线进行转换。在证明过程中，我们实际上使用了双等腰三角形的八字形，并以一组相反的顶角作为中间桥。等过四个角，最后等到两边。

由此可见，以后遇到类似的问题，中点出现在哪里，需要证明不在同一个三角形的边相等，但又不能证明全等，不能只将长度加倍中线，还顺便构造一个双等腰三角形。图八可以帮助你在解决问题的时候事半功倍！

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