等腰三角形“三线合一”的应用举例.doc

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等腰三角形“三线合一”的WORD格式专业分享实例 济宁市梁山县小路口镇初中李丽（适用于人民教育出版社二年级10月号） “三线合一”性质是等腰三角形所特有的，重要性质是等腰三角形的底边中线、顶角平分线、底边高线相互重合。这个性质实际上包括以下三个方面： 如图1所示，在△ABC中，AB=AC，D是BC上的一点。 AB DC 图1 (1) 若AD为等腰三角形△ABC的底BC上的中线，则AD为顶角∠BAC的平分线，AD为BC底上的高线； (2)若AD为等腰三角形△ABC顶角∠BAC的平分线，则AD为底BC上的中线，AD为底BC上的高线； （3）若AD是等腰△ABC底BC上的高线，则AD是顶角∠BAC的平分线，AD是底BC上的中线。由此可见，“三线合一”性质为我们提供了证明角度相等、直线垂直、线段相等的新思想和新方法。在解决一些与图形有关的证明问题时，要注意灵活运用。下面仅举几个例子，让同学们体会一下“三行合一”的神奇威力。 1. 证明角度相等或倍数关系 例1. 已知：如图2所示，在ABC中，AB AC，BD AD在D中。验证：BAC 2 DBC． 【分析】画等腰ABC的顶角平分线，并将顶角分成两等份A。根据“三线合一”的性质，证明DBC等于其中任意一份。 1 2 【证明】作为BAC的平分线AE，有1个BAC。 2 12D∵ AB AC，1 2，∴ AE BC（三线合一）。 ∴2℃ 90．还有 ∵ BD AD , ∴ DBC C 90 ． B CE∴ 2 DBC． ∴BAC 2 DBC．图2 【说明】添加辅助线，利用等腰三角形的“三线合一”性质，巧妙构造两个锐角相同的直角三角形，将已知条件与待证明的结论有机地联系起来，使其更容易获得问题的解决方案。 2、证明线段相等例2，如图3所示，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，E中DE⊥AB，F中DF⊥AC，证明：DE=DF.AE FB DC图3【分析】：根据题意，DE和DF分别是D点到∠BAC两侧的距离。要证明它们相等，可以先证明D点在∠BAC的平分线上。这只需要证明AD是∠BAC的平分线。【证明】：连接AD。∵AB=AC，BD=CD，∴AD是等腰三角形ABC的底BC上的中线。 ∴AD平分∠BAC。 ∵DE⊥AB在E中，DF⊥AC在F中，∴DE =DF。 【提示】等线段问题可以用“三线合一”来证明，也可以用全等来解决三角形，但用“三线合一”来证明比用全等三角形要简单得多。因此，我们在解决这类问题时，需要端正始终以三角形全等为依据的思维定式，优先采用“三线合一”的方法来解决。 3.证明线段垂直例3.如图4所示，在△ABC中，AB=AC，D在BA的延长线上，E在AC上，AD=AE。验证：DE⊥BC.DAEB FC 图4 【分析】：注意△ABC 是一个以BC 为底的等腰三角形，那么底边的高度垂直于BC。要证明DE⊥BC，首先要证明DE与这个高度平行。 【证明】：通过A设AF⊥BC在F中。∵AB=AC，AF⊥BC在F中，∴AF是等腰三角形△ABC的底BC的高。 ∴AF平分∠BAC.∴∠BAC＝2∠BAF.∵AD =AE,∴∠D＝∠AED.∴∠BAC＝∠D＋∠AED＝