FAJ：利用盈亏平衡波动率进行期权定价

FAJ：利用盈亏平衡波动率进行期权定价

建议

本文由赫尔战术资产配置有限公司创始人兼董事长布莱尔·赫尔、高级金融工程师李和香港城市大学及香港数据科学研究所助理教授肖谦撰写。

盈亏平衡波动率（BEV）是期权公允价值的代理指标，是指动态对冲过程中使套期保值盈亏为零的期权Delta对冲组合的隐含波动率（IV）值。 BEV的最早研究可以追溯到Zou等(1999)，and(2006)进一步研究并获得了BEV表面。以S&P500指数期权为例，本文通过建立BEV预测模型，首次获得了一种新的非参数期权定价方法，该方法可以对具有指定特征的期权进行绝对定价——即可以根据单个选项的可观察特征。价值。正如文中提到的，与传统的参数期权定价方法相比，该方法更加灵活。该模型采用数据驱动的方法来量化期权价值，并通过历史数据集的学习发现期权价值和重要特征。变量之间的内在关系，无需事先指定具体的底层价格过程。

近年来，我国场内期权市场发展迅速。国内八家交易所均已推出期权。相应地，还推出了做市商管理制度。做市商通过持续双边报价等方式为期权合约提供流动性。公开数据显示，2022年上交所股票期权交易总量为10.75亿份，做市商与投资者之间的交易比例超过50%。随着期权市场持续活跃，期权交易数据不断丰富，分析BEV数据可以帮助做市商识别和控制报价风险，推动价格发现进程。本文基于BEV的非参数期权定价方法可以为期权交易者和做市商提供期权公允价值分析的工具。它是对现行期权定价方法的有力补充，值得衍生品相关领域的学者和专业人士阅读。 。

01 简介

期权定价模型（Black 和 1973；Cox、Ross 和 1979）的出现引发了现代金融的一场革命。在接下来的几十年里，期权市场爆发式增长，人们对期权定价产生了巨大的兴趣。尽管期权定价文献包含大量模型，但这些方法通常有一个共同的想法：期权的价值等于最终支付（1973）相同的复制投资组合的价值。这个简单而优雅的想法最自然的实现是使用历史数据为大量复制的投资组合构建结果分布，然后可以将其推广到其他类型的期权定价。然而，这种方法的实施存在很多问题：Zou and (1999)指出，这种复制方法可能非常耗时，并且由于波动率预测不准确或对冲频率不足而导致的对冲错误将使实际实施变得困难。因此，许多研究人员选择了更加结构化的方法：指定标的资产的收益流程，推导定价关系，然后根据数据校准模型。

基于（1973）的原始见解，我们着手构建非参数期权定价模型。过去 20 年来，计算能力迅速增长，期权数据库也变得越来越全面。这些进步使我们能够克服 Zou 和 (1999) 提到的局限性。期权定价模型的第一步是制定适当期权价值的衡量标准。使用历史价格，我们可以计算期权的公允价值和隐含波动率 (IV)，其中 IV 的值将 Delta 对冲期权头寸的损益 (P&L) 设置为零。该 IV 值称为盈亏平衡波动率 (BEV)。 ）。

动态对冲期权头寸生成的损益揭示了隐含波动率和实际波动率之间的差异 ( )，对应于正或负的风险溢价（Cao 和 Chen 1997；et al. 2018）。在计算盈亏平衡波动率时，我们将盈亏平衡设置为零，以消除市场价格中嵌入的风险溢价。在某种程度上，期权的市场隐含波动率并不等于其盈亏平衡波动率。市场价格包含风险溢价或折价。如果IV高于BEV，则期权的Delta对冲空头头寸将获得正利润；如果 IV 低于 BEV，那么 Delta 对冲多头将获得正利润。从这个意义上说，盈亏平衡波动性为合同双方提供了期权的公允价值（2006）。

我们计算了 S&P 500 (SPX) 指数期权的一些盈亏平衡波动率值，并建立了一个将期权特征与 BEV 联系起来的预测模型。这种预测关系可以解释为一种非参数期权定价模型，通过建立期权的价内程度、剩余期限等可观察特征与其公允价值之间的联系。给定一个新期权及其一组功能，我们可以快速确定其公允价值。

当标的资产的动态收益分布已知时，参数方法优于非参数方法，但在实践中这种情况很少见。尽管期权定价的非参数方法可能是数据密集型的，但当违反参数约束时，它们为标准参数定价模型提供了一种有前途的替代方案。由于非参数模型不依赖于对数正态性或样本路径连续性等限制性假设，因此它们对于困扰参数模型的识别错误具有鲁棒性（Ait-和Lo 1998）。

我们为近 400,000 个标准普尔 500 指数期权构建了 Delta 对冲头寸，这些期权具有不同的行权价格和期限（5 至 74 个交易日）。盈亏平衡波动率的经验分布与隐含波动率相似但又不同。我们为这两种波动率指标构建了波动率假微笑，并发现了以下模式： 盈亏平衡波动率和隐含波动率在平价 (ATM) 区域几乎相同，但当我们远离 ATM 罢工时，这两个指标都开始发散。对于低于和高于标的价格的执行价格区域，隐含波动率均高于盈亏平衡波动率。波动率微笑的形状表明，Delta 对冲空头头寸往往会从价外 (OTM) 看跌期权中产生正利润，这是文献证实的经验规则（Coval 和 2001 年；以及 2003 年）。

我们使用 12 个变量及其变化构建了盈亏平衡波动率预测模型。除了期权定价中使用的典型参数（例如价内和剩余久期）之外，我们还包括可能提供额外预测能力的变量，例如 CBOE VIX 波动率指数 (VVIX)、期权 delta 和 ATM delta。以及期权价格对波动性的敏感性。我们使用两阶段回归方法构建连接预测变量和盈亏平衡波动性的统计模型。第一阶段生成对记录的盈亏平衡波动率的预测，第二阶段进行调整，以使预测的盈亏平衡波动率值无偏差。

我们的统计模型可靠地适合盈亏平衡波动性。两阶段模型捕获了 90% 的盈亏平衡波动率变化。模型诊断表明，该模型在波动率值介于 5% 至 50% 之间时表现最佳，但如果盈亏平衡波动率低于 5%，就会出现困难。我们的模型预测在波动性空间中表现出凸性，并且期权价格与表现出负偏态和超峰度的基础收益分布一致。虽然上述特征可以被精心设计成参数模型，但当我们从数据中学习时，它们自然会出现在我们的方法中。

我们通过模拟交易策略来测试统计模型的经济价值，该策略利用隐含波动率和盈亏平衡波动率预测之间的差异。对于特定期权，如果其隐含波动率低于预测的BEV，则该期权的市场价格过低，我们采取Delta对冲多头头寸。如果隐含波动率高于预测的BEV，则市场太贵，因此我们对空头头寸进行Delta对冲。我们交易盈亏平衡波动率值与中点价格相差超过 1 美元的期权。

在 2015 年 1 月至 2020 年 11 月的测试期间，我们的统计模型实现了令人印象深刻的样本外 R 平方为 0.71。基于 BEV 的策略识别出 6,783 个交易机会，年化回报率为 6.8%，年化波动率为 4.5%，比率为 1.50，在每单位风险的预期回报方面优于三种替代期权策略。与标准普尔 500 指数的买入并持有策略相比，BEV 策略提供了更具吸引力的风险回报权衡，后者在我们的样本期内的比率为 0.79。

我们并不是第一个使用历史数据来计算终端分布和期权价格的人。 (1996) 和Zou and (1999) 也使用历史数据来计算期权价格。这些论文并不是确定期权的复制价值，而是根据标的资产的经验分布计算风险中性分布。 （1996）指出了他的方法中没有纳入与期权价格相关的市场信息的缺点，并指出“需要对......非参数模型值与实际交易价格进行更详细的比较。”我们通过使用实际交易价格来实现这一点。我们根据行动号召确定期权的公允价值。此外，Zou and (1999)的目标是相对定价：以交易所交易的期权价格作为给定价格，建立定价模型，然后计算流动性较低的场外期权的价格。相反，我们的目标是绝对定价，即根据单个期权的可观察特征确定其公允价值。

一些论文使用盈亏平衡波动率作为市场价格的诊断工具。 (2006)建立了盈亏平衡波动率曲面，并解释了BEV是期权合约双方的公平波动率，他强调使用BEV曲面作为理解市场波动率曲面的工具。 (2019) 通过模拟计算了盈亏平衡波动率，并使用 Black & (1973) 和 (1993) 模型比较了 Delta 对冲结果。这两篇论文都没有试图预测 BEV 或探讨隐含波动率和盈亏平衡波动率之间的差异对交易的影响。据我们所知，本文是第一篇通过盈亏平衡波动率预测模型建立非参数期权定价模型的研究。

我们的论文与现有文献之间的一个重要区别是盈亏平衡波动率的计算。 Zou 和（1999）、（2006）和（2019）在给定执行价格和剩余期限的情况下，在期权的整个生命周期内构建了一个恒定的 BEV。这种计算需要完美预测期权路径，但无法实时完成。此外，由此产生的 BEV 表面通常允许存在套利机会。我们的方法放宽了恒定盈亏平衡波动率假设，并允许 BEV 具有期限结构，然后通过后向递归求解。在此过程中，我们使用隐含波动率路径以及股票价格路径进行计算。根据我们的方法计算的盈亏平衡波动率值，不存在套利机会。

我们的论文还与期权定价非参数方法的文献相关。这一系列文件首次出现于20世纪90年代。 、Lo 和 (1994) 使用神经网络来近似 Black 公式。 Ait- 和 Lo (1998) 提出了风险中性分布的核密度估计，有效地给出了期权特征和波动率傻笑的二阶导数之间的联系。这些开创性的论文催生了有关使用机器学习方法来近似模型输入和输出之间关系的最新文献。 Liu 和 Bohte（2019）提出了一种神经网络模型来近似 Black 模型和（1993）模型。 Manzo 和 Qiao（2021）使用神经网络来近似九种不同的信用风险模型。与这些论文相反，我们并不试图近似现有的期权定价模型——我们让数据确定期权特征和价格之间的关系。此外，我们的目标期权价格是根据公平估值而不是市场价格计算的。

02 盈亏平衡波动率

(一)数据

我们从 LLC 获取期权价格、隐含波动率和 Delta 数据。是一家总部位于芝加哥的期权交易平台提供商和数据提供商，为主要银行、对冲基金和自营交易公司的交易部门提供服务。历史和期权分析数据包括隐含波动率、期权、风险指标以及源自交易系统实时数据的波动率表面。

由于它在学术研究中常用，我们想指出 和 数据之间的两个区别（更多详细信息请参见附录 A）。首先，日期期权和基础价格数据在两个数据库中的记录方式不同。使用东部时间下午 3:59 的期权价格和东部时间下午 4 点的股票收盘价；并使用相同的下午 3:59 期权价格，但也使用下午 3:59 的股票价格。其次，数据强加了平价关系（看跌期权-看涨期权），同时保持单独的看跌期权和看涨期权波动率表面。即使期权和股票报价数据同步，人们可能仍然更愿意使用从平价关系得出的远期价格来计算隐含波动率。正是出于这些原因，我们选择使用数据。该数据用于计算和预测盈亏平衡波动率值，我们尝试使用交易者用来创建交易信号的实时市场数据。

用于预测盈亏平衡波动性的变量源自 和 。特别是行权价格、到期天数、隐含波动率等与标的相关的信息均来源于此。用于构建 CBOE 波动率指数 (VIX) 的变量、CBOE VIX 波动率指数以及标准普尔 500 指数的已实现波动率预测均来自于。我们的样本期为2013年1月至2020年11月。

(2) 盈亏平衡波动率的计算

盈亏平衡波动率是将 Delta 对冲期权头寸的损益设置为零的值。假设我们要计算看涨期权的盈亏平衡波动率。 Delta对冲盈亏如下：

其中，CT为看涨期权到期时的补偿，Ct为初始建仓时的看涨期权价格，△τ为τ时刻的期权Delta，Sτ为τ时刻标的资产的价格。 Delta对冲期权的盈亏取决于标的资产的波动性。通过改变波动率，我们可以跟踪PnLt(σ)，它被视为波动率的函数。盈亏平衡波动率是使 PnLt(σ) 为零的 σ 值。我们还可以以类似的方式使用看跌期权来计算盈亏平衡波动率。

要运行上述表达式，请按如下方式计算盈亏平衡波动率：

对于当天，找到使 PnLt 等于 0 的盈亏平衡波动率 στ。对于看涨期权，当期权距离到期日还有 5 天时，我们开始计算。上式中，天数为T，T时刻的看涨期权价值即为市场价格。再往前一天，在时间 T-1，我们计算看涨期权的公允价值，这将当天 Delta 对冲头寸的损益设置为零。然后我们继续求解看涨期权的公允价值，直到剩余74个交易日，这样我们就可以构建剩余期限为5至74天的盈亏平衡波动率期限结构。我们能够计算到期日为 5 至 74 天且买入价非零的可用看涨期权和看跌期权的盈亏平衡波动率。

我们使用 Black and (1973) 模型将公允价值转换为波动空间。将价格转换为波动率有助于比较盈亏平衡和隐含波动率。与金额相比，波动性也表现得更好，这有助于构建预测模型。由于布莱克方程仅用于将期权价格转换为更方便的空间，就像仿射变换或对数一样，这种变换并不要求布莱克和（1973）模型是正确的定价模型（1993）。

为了对看涨期权进行 Delta 对冲，我们从中获取 Delta 数据，该数据是使用 Cox-Ross-（CRR、Cox、Ross 和 1979）二叉树模型计算的。我们在到期前 5 个交易日计算期权的公允价值。我们不会持有该期权直至到期，原因有两个：首先，由于到期前几天的伽玛暴露较高，波动率计算可能会产生噪音，并且相关的波动率曲线不是执行价格平滑函数。其次，期权交易者通常不会在到期日展期，而是在到期前几天展期。我们的剩余期限从 5 到 74 个交易日不等，涵盖了期权交易者参与的典型剩余期限。

图 1. 用于计算盈亏平衡波动率的期权数量

图 1 是我们用来计算盈亏平衡波动率的期权数量的时间序列图。平均每天有 278 个执行价格。在罢工次数超过750的极端日子里，这个值有点偏高；我们使用的执行价格中位数为244。尽管在2013年样本开始时股指期权市场已经具有相当的流动性，但在样本后期阶段执行价格的数量稳步增加。我们总共计算了 396,899 个期权的盈亏平衡波动率。

表 1. 统计数据摘要

表 1 显示了盈亏平衡波动率的汇总统计数据。从2013年1月到2020年11月，所有计算出的盈亏平衡波动率的平均值为25.4%，中位数为22.1%。我们查看了广泛的数值，发现经验分布的第 10 个百分位数仅为 9.5%，而第 90 个百分位数为 45.0%。盈亏平衡波动率的标准差为16.2%。盈亏平衡波动率的分布统计量与隐含波动率的分布统计量类似，但不相等。在我们的样本期内，标普 500 指数期权的平均隐含波动率为 27.2%，中位数为 24.1%，标准差为 15.6%，略低于盈亏平衡波动率。隐含波动率和盈亏平衡波动率的百分位也相似。我们还展示了 BEV 和 IV 之间的差异，以了解它们的联合分布。平均而言，BEV 比 IV 低 1.8%，差异的标准差为 9.8%。 BEV 通常低于 IV，因为第 75 个百分位为负，这反映出我们样本中的许多期权似乎相对于其公允价值溢价交易。

现有的专注于分离方差风险溢价 (VRP) 的论文通常以 Delta 对冲头寸的超额收益形式进行分离（Cao 和 Chen 1997；Zhang 2020；Bali 等人 2021），获得 Delta 的平均正收益对冲空头头寸。表明隐含波动率平均高于随后的已实现波动率。盈亏平衡波动率是一个指标，通过将 Delta 对冲收益和损失设置为零，将每个期权的 VRP 设置为零。这样，BEV 计算比已实现波动率的估计更加灵活，因为我们保留了对于相同期限和不同行使价的期权具有不同波动率值的灵活性。因此，盈亏平衡波动率提供了有关已实现分布的更丰富的信息。

(3) 波动假笑

文献中已经讨论过使用历史数据构建复制投资组合的想法，但实施受到限制。 Zou 和 (1999) 指出，理论上，给定期权的适当隐含波动率值取决于在其生命周期内复制该期权的成本，但是作者并不追求这个想法，因为“这种复制方法可能需要时间-由于波动率预测不准确或对冲频率不足而导致的消耗和对冲错误可能会使实际实施变得困难。 “过去20年计算能力的显着提高和更全面的期权数据集克服了Zou and. (1999). (2019)使用模拟进行盈亏平衡波动率计算，但缺乏更完整的实证分析。构建BEV值之后​​对于大量标普 500 指数期权，我们比较了盈亏平衡波动率和隐含波动率的表现。

图 2. BEV 和 IV 的波动率微笑

图 2 比较了盈亏平衡波动率和隐含波动率的波动虚假性。我们对所有日期和期限进行平均，以跟踪这两种波动性指标的无条件分布。我们将波动率曲线绘制为标准化执行价格的函数，标准化执行价格是期权的对数价值除以其缩放波动率的比率。通过这种方式定义，标准化行使价为比较具有不同波动水平或到期时间的期权提供了更好的指标。由于具有高行使价的上市看涨期权数量有限，这会导致波动率计算在右侧被截断并在左侧进一步延伸。这种平价执行价格的不对称在文献中很常见（例如 Malik 2014）。自 1987 年股市崩盘以来，股指期权一直表现出对价外看跌期权的扭曲。对于这种模式最常见的解释之一是，市场参与者希望防范市场急剧崩盘的可能性，但在预期价格大幅上涨时，他们可能不会购买深度价外看涨期权。这种市场参与者的偏好可以解释为什么我们观察到更多的执行价格低于底层证券的当前价格。

在平坦区域附近，盈亏平衡波动率和隐含波动率非常相似。随着我们远离 ATM 执行价格，这两种波动率指标逐渐出现分歧。在执行价格大于标的价格的区域中 - 标准化执行价格为负并且隐含波动率高于盈亏平衡波动率，表明具有这些执行价格的看跌期权或看涨期权的 Delta 对冲空头头寸，平均也就是说，往往会获得正利润。同样，在执行价格低于标的价格的区域，盈亏平衡波动率也低于隐含波动率。图 2 关于 Delta 对冲头寸盈利能力的含义与文献中记载的经验事实一致。 Coval 以及 (2001) 和 (2003) 发现，在价外看跌期权上持有 Delta 对冲空头头寸可以获得正回报。

03数据驱动的估值流程

在上一节中，我们使用历史数据构建了一个数据库，其中包括近 400,000 个具有不同平价和剩余久期水平的期权的盈亏平衡波动率。虽然此练习为我们提供了期权的公允价值，但盈亏平衡波动率的计算需要未来信息，因此无法实时计算。假设投资者想知道到期后 70 天的期权应该值多少钱？在不知道未来价格走势的情况下，她无法计算期权的盈亏平衡波动率。为了实时计算期权的公允价值，我们需要一个模型来建立期权当前可观察特征与其盈亏平衡波动率之间的联系。为此，我们使用各种输入变量构建了盈亏平衡波动率的预测模型。从输入变量到模型学习到的盈亏平衡波动率的映射构成了期权定价模型。

(1) 波动率预测器

我们考虑以下一组盈亏平衡波动性预测因素。虽然一些预测因素受到金融理论的启发，但其他预测因素因其潜在的强大预测能力而被纳入其中。由于我们的主要目标是稳健地预测盈亏平衡波动性，因此我们不限于使用具有强烈经济动机的变量。所有变量均按每日频率计算。

1. VIX反映了市场对标普500指数未来30天隐含波动率的预期，通常被投资者用来衡量市场情绪。我们使用交易结束时 CBOE 波动率指数的对数。

2.VVIX是波动率的波动率指标，捕捉VIX 30天远期价格的预期波动率。我们使用 CBOE VVIX 指数的收盘值。

3. rv 是 GARCH 对标普 500 指数回报波动率的预测，范围与期权久期相同，包括对隔夜波动率部分的调整。

4.rt是剩余期限的指标。计算方法为截至到期日的交易天数除以 252 的平方根。

5.lsk是期权价值程度的指标，计算方式为标的价格除以行权价格的自然对数。该变量的动机是根据实证发现，波动性并不随价内程度而恒定（Zou 和 1999），并且它允许盈亏平衡波动性随着价内程度的函数而变化。

6.ATM.IV 是最接近平价状态的期权的隐含波动率，使用 Black & (1973) 模型计算。

7. 是期权的市场隐含波动率，使用 Black & (1973) 模型计算。

8.RR是选项Delta和ATM Delta之间的差异。与 ATM 期权相比，该变量提供了另一种描述侧翼波动性较高的特征的方法。

还包括上述变量的一些变体。 lsk2 是 lsk 的平方，其灵感来自于波动率指标在大小上是凸函数的经验观察。等于 的平方。 RR2和RR3分别是RR的平方和立方，受到文献中用于构建波动率曲线的插值方法的启发，该方法通过三次样条曲线来表征波动率表面的曲率（Malz 2014；2012）。 vega2 是 vega 的平方。

表 2. 预测变量的汇总统计

表 3. 预测变量的相关矩阵

表 2 显示了预测变量的汇总统计数据，表 3 显示了成对相关性。该表强调了我们的预测变量的多样性；大多数变量与其他变量的相关性较弱。例如，已实现波动率预测 rv 与剩余期限 rt 或价值度指标 lsk 和 lsk2 本质上不相关，但与平均隐含波动率、VIX、VVIX 和 vrt 等波动率变量正相关vvt2。变量变换往往与原始变量高度相关：lsk 和 lsk2 之间的相关性为 0.77， 和 之间的相关性为 0.93，vega 和 vega2 之间的相关性为 0.94。有些变量对具有较大的负相关性：Gamma 与 RR 之间的相关性为 -0.79，而 RR2 与 vega 和 vega2 之间的相关性分别为 -0.90 和 -0.79。

我们使用各种波动率指标作为预测指标，包括 VIX、ATM.IV 和 rv。正如人们所预料的那样，这些变量彼此高度相关。为了限制多重共线性，我们通过 Gram 过程正交化减少了这些预测变量之间的相关性（And 2009）。我们在 ATM.IV 上对 VIX 进行普通最小二乘回归，然后使用回归残差 VIX.res 作为新的预测变量来替换 VIX。我们对 rv 重复相同的过程并得到 rv.res。根据构造，VIX.res、rv.res 与 ATM.IV 无关。此外，它们之间的相关性仅为0.33。我们不进行正交化处理，因为不同的期权具有不同的价值程度，它们差异很大，并且与前三个波动率变量相比，它们也包含显着不同的信息。

ATM.IV、VIX.res 和 rv.res 作为预测变量包含在我们的模型中。据推测，每个波动率指标的特殊成分有助于预测盈亏平衡波动率，而不仅仅是共同成分。如果只有波动率度量的共同组成部分对预测很重要，则无需保留所有三个波动率度量 - 某种形式的平均值就足够了。例如，我们可以构建一个派生预测变量作为最大主成分（Hull and Qiao 2017）。由于这三个波动率指标捕获与盈亏平衡波动率相关的不同信息，因此我们选择在预测模型中包含所有三个指标。

表 3 的第一行包含预测变量和盈亏平衡波动率（我们的预测目标）之间的相关性。相关性是衡量每个变量在单变量预测回归中表现如何的指标。几乎所有预测变量都与我们的预测目标显示出相当大的相关性，尽管这种关系可能是正的或负的。 VVIX、lsk、RR 和 vrt 均与盈亏平衡波动率正相关； vega、vega2 和 gamma 与 BEV 呈负相关。在我们对预测变量的描述中可以找到与 BEV 正相关或负相关的暗示性经济解释。

(2)统计模型

我们的目标是对盈亏平衡波动率做出良好的预测。就线性模型可以对目标变量做出良好预测而言，由于其简单性和可解释性，线性模型优于复杂模型。我们的预测目标是-Bevi，k，t，t of I带有锻炼价格K和剩余时期TT。由于BEV的计算需要了解期权及其基础资产的路径，因此只能在到期日期内确定它，只有这样我们才知道BEV是什么。在时间t，我们使用预测变量XI，m，t来构建时间t上实际BEV值的条件期望。为了简化符号，我们将目标变量和预测变量分别表示为bevi和xi，m。需要理解的是，XI，m在不同的时间已知。

原始BEV值在零时被截断，并显示出明显的右偏斜。在第一阶段，我们将因变量BEV转换为对数。通过在BEV的对数空间中进行处理，我们获得了非常接近正态分布的分布，并且预测的盈亏平均波动率值将确保为正。第一阶段回归模型 - log bev表示为预测变量的线性函数：

其中，BeVI是与特定参数集有关的断裂波动率（包括剩余项和值度），XI，M是与BEVI相关的M预测变量，而∈I是预测误差。

对于给定的一组预测变量，方程（3）给出了对BEV，E [log（bev）]预期对数的无偏估计，我们的目标是找到对预期BEV，E [BEV]的最佳预测指标。将预测数量重新定为原始规模的方法在统计中称为“涂片调整”（，Duan 1983; 1986）。我们不能简单地将公式（3）给出的预测指数化，因为根据不等式，EE [log（bev）]≤e[bev]。 Duan（1983）强调了这一点，他断言，在变换量表（使用单调函数）上的公正且一致的预测数量不会转化为原始尺度上的无偏或一致数量。

如果方程式（3）的残差正态分布，则从等式（3）的预测数量E [log（bev）]到e [bev]的封闭形式转换：

表4。预测的原木盈余波动

样本中的R平方可能会夸大我们模型的预测能力。为了更准确地评估该模型预测盈亏平均波动率的能力，我们使用10倍的交叉验证方法来计算确定系数。我们将数据分为大约相等的10个子样本。对于每个子样本，我们将统计模型拟合到其余90％的数据，并使用拟合模型对子样本进行预测。我们重复此过程以获得10个验证R平方，并将其平均值作为交叉验证的R平方。交叉验证的R平方非常接近全样本R平方，这表明我们的预测模型在此数据集上表现出高度的稳定性。实际上，10个验证R平方在0.51和0.56之间的狭窄范围内，标准偏差仅为0.012，并且回归系数在跨验证折叠之间显示出高度的稳定性。

如果预测变量之间的高相关性导致多重共线性问题，则模型的统计完整性可能会受到损害。尽管普通的最小二乘估计值仍然没有偏见，但它们的差异可能很大。 Ridge回归有助于解决多重共线性问题，因为其方差互动矩阵会更好地收敛，同时通过引入少量偏见来产生更可靠的估计。我们使用脊回归来测试预测的鲁棒性，并使用10倍的交叉验证来选择其惩罚参数。我们发现最佳惩罚参数为零，表明最佳选择的脊模型等同于普通最小二乘。我们进一步探索了惩罚参数的一系列可能值，并确认均方根误差的模型是惩罚参数设置为零的模型。这些结果表明，多重共线性并不是我们模型的主要问题。

表5。对盈余的波动预测进行涂抹调整

表5显示了根据等式（6）的涂片调整。正如方程所暗示的，第二阶段回归不包括截距项。涂片调整表明e [bev] = 1.03ee [log（bev）]，这与不等式一致：ee [log（bev）]≤e[bev]。此调整过程显示了对数盈亏平衡的波动预测与实际BEV之间的牢固关系 - 全样本R平方是0.90，调整后的R平方也是0.90。 10倍交叉验证的R平方略低，但仍表明我们的模型捕获了大部分盈余波动率的变化。

我们的方法试图估算出盈亏平衡的波动性作为选项某些特征的固定功能，例如基本资产的当前水平和货币的程度。如果我们的模型表征数据良好，则其功能形式应随着时间的流逝而相对稳定，尽管如果预测基于预测的变化的特征，则盈亏平衡的波动性的实际预测可能会随着时间的流逝而变化。改变。

我们的预测模型采用数据驱动的方法来量化期权的价值，而常用的结构选项定价方法相反。现有方法通常首先指定选项定价所需的关键参数（挥发率，剩余项，波动性的波动性等），然后使用这些参数来得出选项的值。相比之下，数据驱动的方法可以学习对期权估值很重要的变量之间的关系，而不是预先指定模型参数。

任何定价模型都必须给出输入变量组与输出变量组之间的关系（通常是正确的价格或波动性）。例如，黑色模型给出了模型参数（目标价格，目标波动率，剩余期间，行使价格和利率）和期权美元价值之间的映射。 （1993）该模型为一组模型参数和期权价格指定了不同的映射。我们的方法还建立在预测因子变量和利润和损失余额之间（衡量期权公允价值的指标）。但是，从历史BEV和预测因素的大数据库中学到了预测因子变量和BEV之间的关系。与上述相比，此方法更灵活。

研究人员过去探索了非参数选项定价模型。 ，Lo and（1994）使用神经网络类似于黑色形式，但本文并未考虑选项特征和期权价格之间关系的非参数估计。 AIT-and LO（1998）提出了一个基于条件基于风险的有条件风险的基于风险的风险基于风险的风险基于风险的风险的风险的核回归估计器。本着同样的精神，我们还试图通过数据驱动来描绘可预测因素变量与期权值之间的关系。我们的方法不同，因为我们的目标是利润和损失的波动率，这是对期权公允价值的估计。

图3。真实值和预测值的概率密度

（3）模型诊断

尽管经济直觉可以指导我们考虑预测因素变量与利润和损失平衡之间的单个变量关系，但在多变量的环境中，确定这些关系的符号要困难得多。我们不关注单个预测因子的贡献，而是要进行模型诊断以确定预测模型的优势和缺点。我们研究了该模型的统计有效性以及波动性预测的经济意义。首先，我们检查预测目标与预测值之间的差异。在图中。 3，我们还提出了预测目标和预测值的核密度。比较两个密度可以揭示我们模型的哪些方面表现良好，哪些方面不好。在回报的第一阶段，预测目标是平衡和损失的波动率数量。预测分布的中间部分与目标值完全一致，但是在尾部，它偏离了目标分布。与目标分布相比，左右尾部位置的预测值。看来，当利润和损失余额的波动率在5％至50％之间时，该模型的预测能力是最强的。

在返回的第二阶段，左变量是利润和损失余额的波动率，正确的变量是BEV对值的转换。像第一阶段的回报结果一样，两个分布的大部分区域重叠，尽管预测值显然比尾巴更集中在分布的中间。模型左尾的预测是最困难的。与实际的利润和损失余额波动相比，预测值太小，尤其是在BEV中

我们验证预测性波动不违反套利条件。 Orosi（2015）得出了看涨期权的静态和不成功条件：价格必须是旅行价格的凸功能下降。我们检查下降选项的并行条件：价格是竞争对手的凸功能的增加。可以通过检查可选价格是否违反了熊型的套利条件和蝴蝶价格差异来验证这些条件。熊风格的传播结合了买卖相同的到期日和不同旅行价格的下降。假设我们有两个选项P1和P2，它们在到期日期内相同，但是锻炼价格不同：K1和K2。为了防止无风险利润，我们需要以下条件：

如果您违反了上述条件，则可以获得无风险的利润。如果P2≤P1，则投资组合与多名职位相结合，而短职位不需要成本，并且可以在世界上任何可能的状态下提供非负回报。熊风格的非贵族条件传播迫使期权价格成为通过权利价格的越来越多的职能。这是一个直观的条件，可以保持波动曲线的良好性能。

为了使可选价格成为行使价格的凸功能，它必须满足蝴蝶价格差异的套利条件。蝴蝶价格差异使用三个合同：以最低锻炼价格购买一种痴呆率期权，以最高正确价格以最高价格购买一个期权，并将两种选择卖给中间运动价格。这些职位构成了投资组合。如果基本资产不变，则投资组合将获得最大收益 - 即波动率短。蝴蝶价格差异条件如下：

在上述表达中，K1，K2和K3的行使价格上涨。 是与其自身权威相关的期权价格下降。这种条件规定，与中间借口价格相关的期权价格必须小于期权价格的加权平均值，即以最高和最低权利查看期权价格的价格。蝴蝶价格差异不存在，套利意味着期权价格必须是乘车价格的凸功能。这样，波动曲线的形状与其众所周知的体验特征相匹配（和2004年）。

同一日期和剩余期间的选项以及不同行使价格的选择可以描绘波动率曲线。我们使用上述条件来检查预测的BEV值，并发现在波动曲线中没有套利的机会。

04波动性套利

在上一节中，我们建立了一个损益余额波动性的预测模型。利润和损失余额的波动率意味着没有没有风险溢价的期权的公允价值。根据市场价格获得的隐性波动，包括​​市场参与者的风险，风险溢价已嵌入。只要我们的预测模型可以准确预测利润和损失余额的波动性，我们就可以将隐藏波动与利润和损失余额波动率之间的差异转变为交易利润。这样，我们可以通过模拟交易策略来理解模型的经济价值。本节的目的是评估隐含波动率和预测性利润和损失余额之间的差异是否可以产生有利可图的交易机会。

在文献中，不同使用期权模拟交易策略来确定隐藏波动和实际波动率之间的差异。 Coval and（2001）和（2003年）发现，Delta 的选项有很高的回报，并将这一结果解释为波动性风险溢价。 （2004年）试图在基于需求的资产定价框架中与Delta的对冲英寸的利润相匹配。 Zou and（1999）问：“投资者如何知道哪些权利价格和到期日期？投资者可以使用哪些指标来衡量其估计的超额回报？”这些方法无法回答这些问题，因为它们无法确定哪些选项可以提供相对更具吸引力的投资机会，或者我们应该从Delta的树篱中获得哪种预期回报。

我们根据利润和损失波动性预测预测的非参数选项定价模型可以轻松回答上述问题。投资者可以预测各种选择的波动性，并将其预测与隐含波动率进行比较。如果期权的BEV预测值与IV不同，则投资者可以建立一个积极的预期回报的位置：如果隐藏的波动率低于预测的损益和损失余额波动性，则意味着有多头三角洲的对策”以低廉的价格购买”；相反，如果隐藏的波动率高于预测的利润和损失余额波动率，则意味着”。

（1）模拟交易策略

交易波动性预测值和隐式波动率之间的差异通常称为“波动性套利”（和2002年）。从严格的意义上讲，这不是套利，而是指投资者是否可以对未来做出足够的准确预测，以实现锁定交易利润的波动性。为了说明我们的预测模型的经济价值，我们建立了一种交易策略，该策略使用了我们预测的利润和损失余额波动价值与市场价格的隐藏波动之间的差异。

交易策略的简化处理是因为我们要测试统计预测的准确性。如果我们继续采用更复杂的交易策略（例如，添加一层投资组合优化），然后评估我们的预测性预测利润和损失的准确性，在优化组合的策略中，我们需要测试转换投资组合交易信号和BEV预测的准确性，这将导致“联合假设问题”。通过保持模拟交易策略的简单性，我们可以在有限的混合混合混合混合测试中，在这些因素下BEV预测的准确性。因此，我们在模拟交易策略中的经验在选择我们的预测模型的选择中得到了密切反映。

从2013年1月到2014年12月，我们将模型用作初始培训期。我们修复了模型参数并预测整个2015年损益余额的波动性，并使用2013年末至2015年底到2015年至2015年的所有数据重新拟合模型，然后我们使用更新的模型参数来执行新的预测。在每年，该模型将使用扩展的窗口期重新拟合。这些预测仅在预测时使用可用的信息，因此可以实时执行。最终预测时间是从2015年1月到2020年11月。

在“建模”部分中，我们表明我们的统计模型在样本中达到了较高的R平方。但是，样本中的良好性能并不总是意味着可以促进结果。对未来市场收益的最佳预测（例如，Welch and Goyal 2008;和2008年），我们的扩展窗口预测构成了损益波动的样本（OOS）预测，我们比较历史平均模型。外部预测性能。我们使用平均预测误差（MSFE）来评估波动率预测。计算我们的预测值和历史平均水平：

OOS对每个损益余额的预测与隐式波动率可以比较。从2015年1月开始，我们将扫描所有OTM选项，其余期限在剩余期间的5到74天之间，并找出预测剩余利润> 1美元的选项。其余的利润计算是价值之间的差额美元价值与购买价格的中点与售价之间的美元余额。在一定时间段内，如果利润和损失的价格低于中间价格，我们会出售合同。如果利润和损失的价格高于中价，我们会购买合同。所有交易都使用三角洲树篱，直到到期前五天。当时，该位置将关闭。投资组合的计算方法是增加每日盈利和损失，然后除了合同的总价值外。

05结果

在模拟交易策略中，预测模型可以预测利润和损失余额的波动。在评估交易策略之前，我们首先评估了这些OOS预测。在理解我们的预测模型的有效性方面，OOS预测提供了宝贵的观点。样本的r平方为0.71，表明我们的利润和损失余额波动性预测模型明显好于历史平均估计值 - 我们预测模型的平均预测误差比历史平均水平小71％。

表6。BEV预测混乱矩阵

表6列出了预测利润和损失余额的隐性交易策略的混乱矩阵。混乱矩阵比较了两种投资的投资决策数量。一个是根据模型预测获得的多头和短投资决策的数量。另一个是制定投资者将使实际BEV价值完美的决定。例如，假设30天的期权IV为25％，而BEV为28％。在30天内，我们无法观察到真正的BEV值。假设我们的BEV预测值为24％。在这种情况下，我们将保持期权的较短位置，如果我们可以观察到真正的BEV价值，我们将拥有公牛。由于期权文献的风险溢价的稳定性，它已被记录（Carr and Wu 2009; Zhou 2009），因此我们的交易策略偏向短期职位。从这个意义上讲，短职位是混淆矩阵中的“正”类别，而多态度为“负”。

在我们的样本预测中，有6,783个观察结果具有投资优势。其中3,002个真正的正模型短位置与实际BEV隐式短位置一致，2,314个实际为负。因此，模型的准确性为78％（通过观测总数的正确预测来衡量）。积极观察总数和正观测值总数的比例为100％ - 在此特定样本中，每个预期的剩余利润的短位置预测超过1美元是正确的。回想一下，正面观察结果与正确预测和所有实际积极观察的比例为67％，这表明，如果投资者可以完美观察损益的波动性，那么正确预测的短期位置的比例是实际的短职位。是67％。 F1分数是准确性（）和召回率（）的对帐。它可以评估模型的预测能力，误解和遗漏报告的平衡可以平衡。在我们的示例中，F1分数为0.80。从分类的角度来查看回归模型的预测，我们还有一个额外的观点来检查其性能。

表7。战略表现

在表7中，我们总结了基于BEV的交易策略的性能，还提供了三种其他选项策略以进行比较：所有可用选项Delta 标题组合，所有Delta Head Inch Inch Inch组合和所有权利权利权利权利权利，Delta 标题组合，最后我们纳入了购买和持有标准普尔500的策略。基于BEV的策略的年收入为6.8％，波动率为4.5％。在所有期权策略中，已经达到了最高比率和最高预期最大回试比率。标准普尔500指数的购买和持有策略在我们的样本期内表现良好，年收入为10.4％，波动性为13％，比其长期价值高0.79，显示2015 - 2020年一年中的时间，有吸引力的风险回报权重。

由于波动性的差异，很难比较平均回报和最大检索不同策略。在表7的面板B中，我们有了所有选项策略的变焦，因此它们的年化波动率等于标准普尔500指数的波动性。将所有策略置于相同的缩放率上可以使投资者获得不同的投资机会。在年度波动率的13％的情况下，BEV策略的年收入为19.6％，最大回购为-9.3％，平均收益最高，尾巴风险最低。相比之下，其他期权策略的收入在8.9％至13.5％之间，最大回购在-15.7％至-20.3％之间。其中，购买和持有标准普尔策略的最大回溯为-19.8％。

利润率和交易成本是影响期权策略回报的主要因素（Zhan等，2022）。尽管我们的返回计算已经对保证金要求做出了保守的假设，但已完成抵押的职位，但到目前为止，我们尚未包括交易成本。在表7的面板C中，我们探讨了交易成本对BEV策略的影响。 SPX选项的价格更改单位为5美分。对于深度OTM选项，交易价格差异通常为5美分；对于ATM选项，交易差异的范围通常为20-30美分。考虑到成本，假设我们可以以1个tick差交易E-Mini期货合约（我们用于对冲），并假设交易SPX选项的三个值：1个tick，2个tick tick和3个值滴答声。根据（2020年）的数据，股票指数期权价格之间的价格差为8.1美分，平均有效性差异为6.2美分。对于考虑预期未来价格变化的复杂交易，平均有效性差异仅为1.3美分。作者指出，使用算法或使用经纪公司的执行算法的自雇交易员或机构投资者支付的成本接近1.3美分，而不是6.2美分。根据（2020）研究的结果，我们的交易成本假设是保守的。

面板C表明，如果我们的交易价格比SPX期权的中点价格为1个，则平均收益率将降至4.4％，比率将降至0.98，最大回收率将上升至-4.9％。较高的交易成本将进一步降低平均收益和比率，并增加最大撤退。除非投资者可以限制其交易成本，否则基于利润和损失余额的策略将无法提供有吸引力的风险调整回报。

06结论

在本文中，我们建立了一个非参数选项定价模型。输出结果是通过利润和损失余额波动率衡量的期权的公允价值。 Delta对冲选项的损益设置为零隐藏的波动率值。我们计算了大量标准普尔500指数选项的利润和损失余额波动，并使用这些历史值来构建一个预测模型。两个阶段回归方法描绘了平衡和损失波动率的大多数变化，所获得的预测符合套利条件。我们的模型预测可用于制定波动性套利策略，该策略可以利用隐式波动率与预测利润和损失平衡波动之间的差异。

将来，有几个有趣的方向值得探索。自然而直接的扩展是另一种Delta对冲方法。我们使用与单个选项相关的三角洲，但替换选项可能包括根据挥发性实现计算的ATM三角洲或三角洲的使用。对利润和损失平衡之间的关系，波动率的实现以及偏差实施之间的关系之间的更深入分析将有助于丰富对高端移动模型的现有文献的研究和资产分布的预测。 （2009年）的研究表明，期权价格与期权最终用户的压力有关，后者可以用作期权定价模型中的附加预测因素变量。利润和余额波动率与罗斯响应定理（2015）之间联系的研究可以揭示罗斯假设的可行性。

对于具有固定剩余期限的期权，期权价格相对于行使价格的第二级导数给出了风险中性分布（和1978年）。差额价格的期权利润和损失余额的波动也不同。从这个意义上讲，价格的第二阶导数提供了另一个分布。由于与利润和损失余额的价格没有风险溢价，因此该分布没有嵌入市场参与者的风险中。利润和损失余额波动率弯曲表面也可能值得进一步研究，随着价值程度和剩余时期的变化。

另一个有趣的研究方向是将股票指数选项扩展到单个股票。值得探讨它是否可以使用不同行业的BEV使用相同的预测模型以及可能需要进行哪些调整。研究人员发现，差异风险溢价的模型和股票指数选项的期权偏差与单个选项不同。据推测，这些差异将转变为利润和损失平衡波动和隐性波动之间的差异。人们还可以考虑将分析扩展到具有交易的其他资产类型（例如债券指数或商品期货）。与跨组件类别一致的研究结果可以防止过度合并并促进对期权价格行为的共同解释。

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