有限元网格自动生成方法研究.pdf

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华南理工大学硕士学位论文《有限元网格元分析自动生成方法研究》已占据越来越重要的地位，是有限元技术发展、推广和应用中的瓶颈问题，也是其中之一。 CAD集成技术的关键技术。 本文在承担广东省科技厅“网格自动生成及智能建模系统开发”项目过程中，对有限元自适应网格自动生成技术进行了系统研究，提出了一种基于德劳内三角剖分。 在二维和三维空间实现了有限元自适应网格的自动生成方法。 在此基础上，研究并实现了基于有限元自适应网格生成技术的有限元预处理模块，以及与有限元分析软件的数据接口。 本文主要做了以下工作： 1． 提出了一种基于三角剖分的有限元自适应网格自动生成方法。 通过规划单元尺寸信息域，将形状的几何特征和力学特性动态地反映到节点和单元上。 特征和力学性能适配，有效实现了基于形体几何特征和力学性能自适应网格的自动生成； 2、在二维平面上，实现了基于三角剖分的有限元自适应网格的自动生成，并给出了算法的详细描述； 3． 在二维有限元网格生成的基础上，对三维实体区域进行自适应网格划分后，进一步在实体内部生成节点和单元，实现了三维自适应网格生成的自动化： 4． 在自适应网格自动生成算法研究的基础上，开发了基于的有限元预处理模块； 并实现了与大型有限元分析软件ANSYS的数据交换； 5． 最后，利用建模软件、自主研发的有限元预处理系统和ANSYS有限元分析软件，给出了一种新型省力拆胎机壳体的静应力分析实例。

关键词：有限元；自适应网格；自动生成华南理工大学硕士学位论文ＩｌＥＥ自Ｅｊ口＿＿＿＿＿＿ｌ－自ｌＥ日，－自自Ｉ＿＿＿目ＥｊＩｊ＿＿Ｉ－＿一ＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｅａｕｔｏｍａｔｉｃｇｅｎｅｒａｔｉｏｎｔｅｃｈｎｉｑｕｅａｄａｐｔｉｖｅｍｅｓｈｈａｓｂｅｅｎｐｌａｙｉｎｇａｍｏｒｅａｎｄｍｏｒｅｉｍｐｏｒｔａｎｔｒｏｌｅｉｎｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔａｎａｌｙｓｉｓｗｈｉｃｈｉｓａｂｏｔｔｌｅ－ｎｅｃｋｐｒｏｂｌｅｍｄｅｖｅｌｏｐｉｎｇ，ｓｐｒｅａｄｉｎｇａｐｐｌｙｉｎｇＦＥＭ，ａｎｄａｌｓｏ，ｉｓｏｎｅｏｆｔｈｅｋｅｙｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓｉｎＣＡＤｉｎｔｅｇｒａｔｅｄｓｙｓｔｅｍｓ． 本论文研究了自适应网格自动生成的简单实现细节。 （ａｎ 在此基础上，完成了基于自动网格生成技术的终元分析分析系统的时代几何系统集成。 论文领域的维护如下： 1． ａｎ 2. ＴｈｅｎｅｗｉｎｔｅｇｒａｔｅｄｍｅｔｈｏｄｂａｓｅｄｏｎＤｅｌａｕｎａｙＴｒｉａｎｇｕｌａｔｉｏｎ（ＤＴｌ２一Ｄｄｏｍａｉｎ．Ｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｇｉｖｅｎｉｎｄｅｔａｉｌ．３．ＴｈｅｎｅｗｉｎｔｅｇｒａｔｅｄｍｅｔｈｏｄｂａｓｅｄｏｎＤｅｌａｕｎａｙＴｒｉａｎｇｕｌａｔｉｏｎ（ＤＴ）ｉｓｓｕｃｃｅｓｓｆｕｌｌｙａｐｐｌｉｅｄｉｎ３－Ｄｄｏｍａｉｎｓｆｕｒｔｈｅｒｇｅｎｅｒａｔｉｎｇｎｏｄｅｓａｎｄｅｌｅｍｅｎｔｓｉｎｔｈｅｓｏｌｉｄｍｏｄｅｌ．４．ＡＲｅｒｔｈｅｒｅｓｅａｒｃｈｏｆｔｈｅａｕｔｏｍａｔｉｃｇｅｎｅｒａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍａｄａｐｔｉｖｅｍｅｓｈ，ａ劬ｉｔｃｅｌｅｍｅｎｔｐｒｅｐｒｏｃｅｓｓｏｒａｎａｌｙｓｉｓｍｏｄｕｌｅＡｕｔｏＦＥＭｂａｓｅｄｏｎＡｕｔｏＣＡＤｉｓｄｅｖｅｌｏｐｅｄ．ＴｈｅｆｕｎｃｔｉｏｎｏｎｔｈｅｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｉｎＦＥＭａｎａｌｙｓｉｓｓｏｆｔｗａｒｅ—ＡＮＳＹＳｉｓａｌｓｏｉｍｐｌｅｍｅｎｔｅｄ．５．Ａｔｔｈｅｅｎｄ，ａｎｅｘａｍｐｌｅｏｆｓｔｒｕｃｔｕｒｅａｎａｌｙｓｉｓｂｏｄｙｏｆａｎｅｗｔｙｒｅｄｉｓａｓｓｅｍｂｌｅｒｉｓｇｉｖｅｎｕｓｉｎｇｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｏｆＡｕｔｏＣＡＤ，ＦＥＭｐｒｅｐｒｏｃｅｓｓｏｒｓｙｓｔｅｍＡｕｔｏＦＥＭａｎｄＡＮＳＹＳ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄｓ，ａｄａｐｔｉｖｅｍｅｓｈ，ａｕｔｏｍａｔｉｃｇｅｎｅｒａｔｉｏｎＩＩ华南理工大学学位论文原创性声明 本人郑重声明，所投论文是本人在导师指导下独立研究的研究成果。

除文中特别标注和引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体发表或书面的成果。 对本文研究做出重要贡献的个人和集体，已在文中明确标注。 本人深知，本声明的法律后果由本人承担。 作者署名：Face 1 即时回复日期：牛年六月夏 学位论文著作权使用授权书 本学位论文作者充分理解学校关于学位论文保留和使用的规定，同意学校保留和提交向国家有关部门或机构提供论文的纸质版和电子版，允许论文的查阅和借阅。 本人授权华南理工大学将本学位论文的全部或部分内容编入相关数据库供检索，并以复印、缩影或扫描的方式保存和编辑本学位论文。 保密，本授权书于-年解密后适用。 本论文不保密（请在上方相应方框打勾“”） 作者署名： 导师署名： 日期： 牛年六月“J日” 第一章引言 1.1 选题意义 第一章引言有限元法是一种非常有效的工程分析方法，其特点是分析各种复杂结构，如几何复杂的不规则边界、裂缝或厚度突变、钢筋、物理、具有各向异性的材料等。解决各种复杂的工程分析计算问题 由于有限元法在解决实际问题中的有效性，很快引起了人们的关注和重视，并使其在理论上逐渐完善并得到广泛应用。

有限元法已成为结构分析的有效方法和手段，成为CAD的重要组成部分。 目前，有限元法的应用领域已经从结构领域发展到包括热传导、流变学和电磁场在内的非结构领域。 其应用领域几乎涵盖了自然科学和工程技术的各个方面，如解决力学、热传导、电磁场、声场、机械、建筑结构、渗流等复杂连续介质问题的计算，最近又发展到解决多学科问题。 ，如流固耦合问题等。由于该方法所涉及的原理和数学基础的普遍性和广泛性，有限元法已成为“适用于解决应用数学、连续介质力学、工程和物理学中的一切问题” ”。 有限元技术的发展促使许多有影响的有限元软件相继问世。 如国外的、ABAQS、ADINA、ANSYS、SAP，国内的SAPSP、北京大学的SAP84、大连理工大学的JFX/W、中国农机化科学研究所开发的Si S等。有限元法一般分为三个步骤：前处理、有限元计算和后处理。 但与高度发达的有限元计算功能极为不相称的是，以自动划分网格为主要特征的有限元预处理功能却十分薄弱。 这严重制约了有限元技术的发展和应用，具体表现在以下两个方面： 1、预处理建模时间长。 传统的手工网格划分，或计算机辅助人机交互半自动网格划分过程非常复杂繁琐，费时费力，而且容易出错。

据相关数据分析，在整个有限元处理时间中，前处理部分占40%-45%，后处理过程占55%-60%，求解计算过程仅占5%左右%。 2.预处理建模难度大。 对于分析师来说，有限元仿真分析的预处理建模不仅需要多学科知识，还需要分析实际项目的知识和经验。 而这种数据准备是建立在充分理解有限元知识和预处理数据格式的基础上的。 对于有限元知识不多的工程技术人员来说，往往难以开展有限元技术的应用和完成复杂的有限元预处理工作。 因此，只有发展以自动网格细分为特征的前处理技术，才能真正解决有限元仿真分析走向实际工程应用的障碍。 同时，有限元网格的自动划分是实现CA/)集成的关键技术。 CAD集成就是将CAD各部分内容之间的信息提取、交换、共享和处理集成在统一的数据库下，使设计过程的各个部分实现自动化。 就我国而言，在产品设计过程中，计算机辅助几何建模、计算机辅助工程分析和计算机辅助绘图多是独立使用，它们之间没有有机联系。 当今有限元仿真分析系统的特点和趋势之一是与通用CAD软件的集成使用，即几何建模、工程分析、几何制图同步进行。

因此，当今所有商业有限元系统供应商都开发了与知名CAD软件（如Pro/、、、、IDEAS、和等）的接口，以实现有限元分析方法的集成。以及各种CAD软件。 集成化已成为国际有限元分析方法和软件的发展趋势。 显然，要实现几何模型与有限元分析的集成，如果还停留在传统的有限元手工建模的基础上，这种集成是无法实现的。 只有开发和实现基于有限元网格自动细分为特征的有限元预处理技术，才能实现CAD的集成。 因此，有限元网格的自动划分成为集成的关键技术。 以上分析表明：有限元网格自动生成技术的研究与开发直接关系到有限元技术的发展与实际应用； 研究有效的自动网格划分算法和开发用于二维和三维几何建模的自动有限元网格生成软件具有重要的理论价值和深远的实际意义。 1.2 有限元网格自动生成技术文件概要 有限元法是基于细分、插值和变异的原理，分段逼近是有限元法的一个重要特征。 所谓分段近似，就是考虑任何复杂系统（如机械、工程、流场等）的组合。

当单元越细，越接近原始结构，近似解的精度也大大提高。 随着节点数量的逐渐增加，近似解会逐渐逼近精确解，这就是有限元网格划分的思想。 此外，由于分割具有很大的灵活性，可以根据分析对象的形状和裂缝、开口、配筋等结构特征选择合适的单元尺寸。 一些地方使用小单位，其他次要部分使用大单位，以达到满足计算精度和减少计算工作量的目的。 从以上分析可以看出，网格划分在有限元分析中占有非常重要的地位，它会影响分析结果的准确性和正确性。 1.2.1 有限元网格的基本要求和基本概念 在进行有限元分析时，为保证分析系统能有效地划分为有限元组合的网格必须满足以下一定条件： 1.兼容条件（ 1）网格与原域Q几何兼容，将原域Q离散化，形成一个由离散边界r包围的近似域Q，应满足：所有单元所占面积之和应等于近似域的面积，即满足式（2-1）。 5=Uq 式中：et——n中的单位； N——Q中的单元总数 a1 原域 b) ABc落在域外 图1 相容条件判断 Figl-1 相容项单元不能相互重叠，即任意两个不同单元q和e，(f /) 满足式(2-2)： e． ne,=西(2-2) 其中：Lu——空集。

(2) 网格在拓扑上与原始域Q兼容。要求生成网格的单元边界要么在原始几何的离散边界上，要么与相邻单元共享。 图2中网格产生背面E缺失，不满足拓扑兼容性要求。 在图3中，单元ABEc和单元FBDC不在同一平面上，因此拓扑不兼容。 图2 边界拓扑不兼容 图1-2 边界拓扑不兼容 随着平面3-9节点单元和空间8-21节点单元的出现和应用，单元之间的兼容性在一定程度上受到限制。 可以放宽，比如四叉树和八叉树生成的有限元网格，叶子单元之间的层级差可以是一级，这为不同大小单元之间的过渡和网格的局部细化创造了有利条件。 健康）状况。 图1-4，对于3~9个节点单元的软件，完全可以进行有限元分析。 图3 单元间拓扑不相容性 图4 允许不相容性 图1-3 拓扑不相容性 图1-4 单元间允许不相容性 2. 几何特征条件 有限元网格还需满足以下几何特征条件： . 相邻单元尺寸过渡平缓，尺寸相差不宜过大。 因为结构内部应力应变的变化是连续的、渐进的。 ． 单位密度分布合理。

在解的变化率很大的地方，单元密度应该很高，以便在这些区域获得精确的解。 ． 对于平面三角形单元，应尽量避免尖角（角小于150°），单元形状尽量规则。 对于几何形状不均匀的单元格，可以采用技术将网格质量尽可能修正为规则，以提高网格质量。 其中，拉普拉斯网格均化技术已被人们所采用。 其思想是：在网格中，每个内部节点都与周围的许多节点相连，将节点调整到这些相邻节点的中心。 因为它简单易懂，所以得到了广泛的应用。 这种方法可以用迭代的方法来实现，也可以直接求解得到“1”。 网格质量，经常将两个相邻三角形的公共边与公共边交换，称为对角线替换技术，往往也可以获得更好的网格质量，如图5所示 1.2.2 网格生成方法的分类 有限元网格生成技术有发展至今，产生了大量不同的实现方法。 大致分类如图6所示， 图6 网格生成方法分类 也有研究将生成单元类型分为生成结构化（）网格的方法和生成非结构化（Non-）网格的方法”1 .

与结构化网格的生成相对应的是映射法，而生成非结构化网格的方法又根据各方法的特点进一步细分，包括：节点生成法、拓扑分解法、几何分解法、基于网格的方法等。下面简要介绍各种方法。 1.2.3 映射法 映射法是早期出现的一种比较优秀的细分算法，典型的方法如：共形映射法、拉普拉斯映射法、等参数映射法……、超限映射法m，以及模板法是近几年在中国出现的。 其基本思想是 a) 映射模板 b) 实体映射 a) 映射模块 b) 实体映射 对于三维问题，将单位六面体或单位四面体的网格映射到欧氏空间，从而生成实际的网格。 建图方法需要准备大量数据，又不完全面向几何特征，难以完全自动化，只能算是一种半自动化方法。 但由于概念清晰、方法简单、单元性能好、对规则统一的地区适用性强等特点，得到了很大的发展（如图1-7所示），一度成为商业软件的主要方法。 1.2.4 节点连接法该方法一直是有限元网格自动生成方法研究的热点，文献较多。

它主要分为两个独立的步骤：节点生成和单元格生成。 1、相对于节点生成和单元生成，虽然关于网格节点生成的文章很多，但是目前还没有很好的网格节点生成方法。 一些网格生成器需要使用人机交互来生成网格节点； 但目前更多的研究是如何自动生成网格节点。 比较有代表性的方法有卡文迪什的随机节点生成法《1、非随机节点生成法和全局最优节点生成法》。...卡文迪什技术：如图1-8所示，首先对细分对象的边界进行离散分割，然后将细分对象按照需要的单元大小划分为若干个区域，放置间隙为r(i)的网格，在网格的每个单元格中随机生成一个内部节点，如果该节点落在区域内，则距离点与边界之间且生成的节点大于r(i)，则该节点如果生成成功，否则重复上述过程，如果重复次数大于某个值，比如5次，节点生成仍不满足要求，自动放弃该cell中节点的生成。 图8 节点生成技术 Figl- of node 上述随机节点生成方法的缺点是节点分布不够合理。 如果生成可以接受的节点，需要多次检查，计算量大。 卡文迪什在文献[11]中也将该方法应用于三维空间。

将待解剖的实体分成一系列的部分，在二维空间中使用节点生成方法生成每个细分面上的所有节点。 This adds , which is a semi- node , and the must be to the of the 3D grid. 非节点生成技术：这里介绍了两种这样的方法，s。 H。 Lo“”和Lee“”节点生成方法。 S． H。 Lo的节点生成方法可以概括如下：在Y.和Y.. ; 形成一系列距离为单位尺寸的水平扫描线，扫描线被物体边界划分为一系列线段； 检查节点与边界的距离，如果距离太近，则取消该节点。 该方法原理简单，避免了卡文迪什随机节点生成方法中新节点的可行性判断； 但对于边界复杂的细分域，该方法在边界处的节点分布方面仍存在一定问题，容易出现畸形。 在Lee的非随机节点生成方法中，几何二维形状是通过对一些基本体素（如圆形、矩形等）进行交、加、减等布尔运算而形成的，而每个基本体素中，节点被某些规则所覆盖。 在参与布尔运算时，在体素相互重叠的区域，有的节点需要舍弃，有的节点需要合并，有的需要改变位置。 在上面介绍的两种节点生成技术中，都不能很好地解决边界附近节点的生成问题，这将不可避免地导致变形单元的出现。 为此，文献[10]提出了全局最优节点布局法。

在本文中，每个节点被视为具有网格单元大小的微弹性硬币（三维空间中的球体），因此问题巧妙地转化为在空腔中放置尽可能多的硬币，由于硬币分布的均匀性和紧凑性使得最终网格节点分布均匀，单元形状合理。 2、单元生成这部分的工作就是如何将生成的节点集连接成单元。 这方面的文章也很多，大多是生成平面三角形单元或空间四面体单元，也有一些文献尝试生成星形单元或六面体单元。 下面主要介绍几种生成三角元的方法： (1)卡文迪什元生成法”。定义8是所有边界节点和内部节点的集合，a 8是边界节点的集合，内部区域总是在一个向外方向。在边界的左侧，从节点集合a8中选择两个相邻的节点A和B，如图19所示，然后从节点集合AB的左侧选择一个节点C，使生成的AABC单元和整个三角形在某种意义上是最优的。为此，首先从节点集合中选择若干个节点作为候选节点C.，c.，...，C(n5)，待选节点应在AB的左侧，且与AB的距离较近，因此的值较小。现在进一步判断哪些节点是最好的。筛选原则是：a)AB与某一个点c.形成的AABC"不能与生成的三角形元素相交； b) 美国广播公司。

它不能包含其他要选择的节点。 筛选后剩余的节点可以与AB连接成一个单元，但要根据三角单元的性能选择最佳的c点c。 这要从两方面考虑：一是AABC的形成。 尽量接近等边三角形； 此外，请遵循 Ac。 ， C。 以 B 为底的新三角形也应该具有良好的几何形状。 如图10所示，形成了AABC。 也接近等边三角形，c可以以c和b为底生成。 公元前。 它的状况很差。 为此，本文采用任意三角形与正三角形的近似度i。 . -3/4f 评估三角单元的质量。 其中 rA。 c=/艿，万是ABC最长边的长度； 它是 ABC 的最长边和相对顶点之间的距离。 对于正三角形 r = 日历。 图1-9 图1-9 选择节点 (2)弗雷德里克单元生成方法 图10 下一步可能的三角形 图10 可能的三角形单元生成从点i开始，选择距离i最近的节点j，然后ij找到节点k对于一条边，使ikj最大，ijk按顺时针方向排列，新的点k变成j，重复上述过程，直到点i完全被三角形单元包围。 (3) 三角剖分 对于给定的一组点集，可能有多种三角剖分结果。 作为一种有限元分析，角三角剖分目前使用较多。

下面以一组二维点P,, P. ,..., P. 为例，说明-的具体含义。 假设 P. , P. ,..., P. 是一个完全不同的二维点集，定义集合 V. : _={x:I|Ting a 1I-<llx—PfmJi} 其中 1fN,. 1| 表示二维空间中两点之间的距离。 V.的意思是平面上的一个区域，该区域上的任意一点到节点P.比任何其他节点P.鳍的距离都小，所以几何V.是一个凸多边形，通常称为多边形. 如果某个V与其他V相邻，则V.的边界为节点P； 和P.连线的垂直平分线的一部分，集合{_)通常称为 ]情况。 通常每个多边形的每个顶点都被另外两个相邻的多边形共享，连接这三个多边形相关的三个网格顶点可以形成一个三角形n，以及所有这些三角形的集合fT。 ) 称为点集的 -'角。 一组点的 三角剖分形成一个包含所有节点的凸包。 图11是由10个节点组成的多边形和三角形。 三角剖分具有以下良好性质： 性质1：三角剖分二维空间中的一组点，构成三角形的最小角之和最大。

此属性也称为“最小角度最大原则”。 性质2：在二维空间中，如果相邻的两个三角形有公共边，则三角形的最小角最大。 这个性质被称为“ 三角元的对角线不可替代性”。 性质 3：平面上一组点的 三角剖分形成一个三角形，其外接圆不包含任何其他顶点。 三维空间也存在同样的性质，即任意四面体的外接球面不包含其他顶点。 该性质也称为“空圆（球）准则”。 1 11 ( lines) and Fi91-1l ( and ) In order to the Z angle of any point set, make full use of 's - many have have been . For , 's "..., "" and "" etc. One of the main of is that it the of long and thin with small , It has in the 2D , and it is easy to local after , so it has one of the most mesh . But in the case of 3D, due to the The angle-to-angle rule is no valid, and the based on can no the grid , and the so- "thin " is to occur due to .

The to this will be in 5. 1.2.5 later than other , and was first by . This that the final mesh are all of , so a can be used to cover the shape with as few as . These are by the of the body, such that the of the body is into a . From the above ideas of the , it can be seen that the of this is and easy to . The is that the unit shape is not ideal only the of the shape is . In , the is for the of . 1.2.6 Grid-based This was first by , and in the [18]. The area to be is by large with small , and the grids the area are , a , and the grids on the point, move to the of the area, and the grid ends. 1.2.7 This can be into two : () and (). The first the into , and this step is done . to the grid , are along the of the , and then the is into two along the of the " axis", and to the grid , are along the line. The sub- to be to the above rules until each area a . The basic of the is: one or two units are cut along the of the area each time.

单连域的边界被分割成所希望的线段，然后由外向内分离出一个个的三角形。 而在迭代法中最具代表性的方法是由Ｌｏ提出并用于平面区域三角形网格自动生成的推进波前法（Ａｄｖａｎｃｉｎｇ Ｆｒｏｎｔ Ｍｅｔｈｏｄ，简称ＡＦＴ），与基于Ｄｅｌａｕｎａｙ概念的各种方法相比，ＡＦＴ法对复杂几何形状和边界的二维域（或三维域）中的三角形（或四面体）网格生成具有更大的灵活性和可靠性。虽然此方法最大的缺点是时间效率相对较低，但由于简单、可靠等优点而成为目前比较有前途的方法。该方法的特性将在下节进行比较。 １．２．８几种全自动网格生成方法的特性比较自动网格生成技术在有限元分析环境中的有效性取决于所采用算法和相应程序的具体特性，这些特性主要包括：自动化程度、计算效率、所生成单元类型和质量、单元密度控制、程序可靠性、与几何造型的集成能力等等。文［２０］给出了三种最成功、最通用的全自动网格生成方法的主要特性比较（见表卜１）。 １．３本文工作概述综上所述，有限元网格生成方法的发展趋势将向着自适应，全自动，高精度，高效率，智能化方向发展，其中基于形体几何特征自适应网格自动生成的研究成为有限元前处理技术研究的最前沿课题之一。

在实际过程中，目前应用最广泛的Ｄｅｌａｕｎａｙ三角法虽然在生成四边形和六面体单元上不具有优势，但在２Ｄ平面区域问题中取得相当大的成功，并且容易实现网格剖分后的局部加密，因此本文在结合广东省科技厅“网格自动生成与智能化建模系统开发”项目的基础上，将基于Ｄｅａｌｕｎａｙ三角剖分的单元、节点一体化生成方法做进一步深入研究，实现２Ｄ、３Ｄ域基于几何特征的有限元自适应网格第一章绪论自动生成。 表卜１三种全自动网格生成方法的主要特性比较特性＼方法Ｄｅｌｅｕｎａｙ三角法推进波前法（ＡＦＴ）计算效率（随生成单２Ｄ、３Ｄ均为０（ＮＬｏｇ（Ｎ））， ２Ｄ、３Ｄ均为０（ＮＬｏｇ（Ｎ）） ２Ｄ、３Ｄ均为０（ＮＬｏｇ（Ｎ）） 元总数Ｎ的变化） 实际观察三者中效率最高２Ｄ网格质量较好，３Ｄ易所生成的网格单元区域内部网格质量较好。边产生薄元，但已有解决办２Ｄ、３Ｄ嘲格质量均较好质量界网格质量较差事先、事后均可进行密度事先、事后均可进行密度控事先、事后均可进行密度控制， 单元密度控制控制，局部性一般制，局部性好局部性好能直接生成三角形、四边能直接生成三角形、四边形、四可直接生成三角形、四面所生成的单Ｊｅ种类形、四面体单元，经扩展町面体单元，经扩展可直接生成六体单元直接生成六面体单元面体单元自动化程度全自动全自动全自动程序实现复杂度相对较容易太复杂中等难度问题区域适用性２Ｄ、３Ｄ任意区域均可２Ｄ、３Ｄ任意区域均可２Ｄ、３Ｄ任意区域均可２Ｄ、３Ｄ任意区域可靠性均２Ｄ任意区域较好，３Ｄ任意程序的町靠性２Ｄ、３Ｄ任意区域可靠性均好区域尚可并向异性网格生成可以困难结构化阿格生成不能不能不能能，可以将分区域煳格生能，叉树结构可作为框架数能，主要作为于区域网格剖分方并行网格生成成合并为一个过程，有发据结构展潜力自适麻网格生成能，密度控制能力一般能，密度控制能力强能，密度控制能力强直接法、问接法均可，生成直接法、间接法均可，生成单元ｆ｝１１面网格生成间接法，生成单元质量好单元一般经扩展．可直接生成六面体六面体嘲格生成不能经扩展，可直接生成六面体单元单元低，主要应用于六面体嗍格算法应用频度三者中最高生成华南理工大学硕士学位论文第二章基于ＡｕｔｏＧＡＯ的有限元前处理模块的数据结构２．１引言有限元分析模型的自动生成方法已经日益受到重视星空网格，并取得了相当大的进展。

在过去几十年里，有限元网格自动生成技术的研究方兴未艾，涌现出许多三维实体有限元网格自动生成算法。几何造型技术是构造、输入、输出和管理几何信息和设计信息的核心技术，是整个ＣＡＤ／ＣＡＭ产业的基础，因此得到了独立于有限元分析领域的迅速发展。但是，由于有限元分析软件的几何造型功能相对较弱，而几何造型软件的有限元建模能力也相对较弱，为了充分利用ｃＡＤ平台的几何造型能力、软件资源和数据资源，继承ＣＡＤ 平台的操作风格和交互能力，并可与其它专业系统协同工作，数据共享星空网格，因此研究基于ＣＡＤ几何造型平台下的有限元分析核心模块，具有十分重要的理论意义和广泛的应用前ＡｕｔｏＣＡＤ是目前微机上应用最为广泛、通用的、开放的计算机辅助设计和绘图软件工具包。在我国，ＡｕｔｏＣＡＤ是工程领域中的主流ＣＡＤ系统。ＡｕｔｏＣＡＤ提供了许多软件开发环境，如：ＡｕｔｏＬｉｓｐ语言、ＡＤＳ和ＡＲＸ二次开发语言。ＡｕｔｏＬｉｓｐ是一种解释性语言， 运行速度较慢，而且运行能力也是有限的；ＡＤＳ（ＡｕｔｏＣＡＤＤｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔＳｙｓｔｅｍ）是开发ＡｕｔｏＣＡＤ应用程序的ｃ语言开发环境，应用程序接口简单，但效率较低，功能有限； ＡＲＸ（ＡｕｔｏＣＡＤ Ｒｕｎｔｉｍｅ Ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ）是ＡｕｔｏＣＡＤＲ１３及以上版本特有的面向对象的Ｃ＋十开发环境，功能最强，运算效率最高。

其中ＯｂｊｅｃｔＡＲＸ ２０００是Ａｕｔｏｄｅｓｋ公司随ＡｕｔｏＣＡＤ ２０００推出的新一代功能强大的二次开发工具。它使用面向对象的ｃ＋＋应用程序开发机制， 以动态链接库的形式与ＡｕｔｏＣＡＤ共享地址空间，并可被ＡｕｔｏＣＡＤ环境直接调用。因此本文以ＯｂｊｅｃｔＡＲＸ２０００二次开发语言作为开发工具，在ＡｕｔｏＣＡＯ数据结构的基础上，建立了有限元数据结构模式，实现了有限元数据结构与ＡｏｔｕＣＡＤ数据结构的集成，取得了较好的效果。 ２．２ ＡｕｔｏＧＡＤ数据库简介ＡｕｔｏＣＡＤ图是一个存储在数据库中的对象的集合。基本的数据库对象是实体、符号表和词典。实体是在ＡｕｔｏＣＡＤ图内部表示图的一种特殊数据库对象，线、圆、弧、文本、 实心体、区域、复合线和椭圆都是实体。图２—１中列出了组成ＡｕｔｏｃＡＤ数据库的主要部第二章基于ＡｕｔｏＣＡＤ下的有限元前处理模块的数据结构符号表和词典是用于存储数据库对象的容器，这两个容器对象都映射一个符号名到一个数据库对象，一个ＡｕｔｏＣＡＤ数据库包含一套固定的符号表，每一个符号表包含一个特定符号表记录类的实例，我们不能向数据库添加新的符号表。层表（ＡｃＤｂＬａｙｅｒＴａｂｌｅ） 是符号表之一，它包含层表记录；块表（ＡｃＤｂＢｌｏｃｋＴａｂｌｅ）也是一个符号表，包含块表记录。

所有ＡｕｔｏＣＡＤ实体都属于块表记录。 词典为存储对象提供了比符号表更加普遍的容器。一个词典可以包含任何类型的ＡｃＤｂＯｂｊｅｃｔ及其子类的对象；当ＡｕｔｏＣＡＤ创建新图时，ＡｕｔｏＣＡＤ数据库创建一个叫做“命名对象词典”的词典。对所有与数据库有关的词典，命名对象词典可以被视作为主“目录表”。我们可以在命名对象词典内创建新词典，并在新词典中添加新数据库对象。 图２－Ｉ组成ＡｕｔｏＣＡＤ数据库的主要部件Ｆｉ９２—１ Ｍａｉｎ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｏｆＡｕｔｏＣＡＤＤａｔａｂａｓｅ 在ＡｕｔｏＣＡＤ中创建的对象被添加到数据库对应的容器对象中，实体被添加到块表记录中，符号表记录被添加到相应的符号表中，所有其它对象被添加到命名对象词典中， 或添加到扩充词典中。 ２．３有限元前处理数据结构２．３．１有限元模型数据的隶属关系有限元分析的主要对象是单元和节点，其中以节点为主。有限元前处理过程首先是将用户选择的一组几何项，如线、封闭的３Ｄ多义线、面和三维实体离散成有限个单元。 在图形系统内的几何描述中，每一个单元都是一个单独的几何形体，都有自己的类型、 编号以及材料等附属特征；每一个单元都有属于自己的节点，此单元节点不仅有自己的华南理工大学硕士学位论文几何坐标表示，而且还应有指向所属单元、边、环、面的指针，以及编号和自由度特征。

此外，单元、节点还应包含有载荷、边界条件和截面特性等非几何属性数据。 ２．３．２有限元模型数据的表示方法有限元模型主要由形体边界表示（Ｂｒｅｐ）、节点、单元等几何属性数据和载荷、边界条件、材料性质、截面特性等非属性数据组成。这些数据构成完整的有限元分析模型， 因此有限元分析模型的表示方法也就转化为上述数据的表示方法。 ＡｕｔｏＣＡＤ中数据对象表示方法有两种：实体表示和块引用表示，在ＡｕｔｏＣＡＤ中实体的定义是指带有图形表现的数据库对象，包括直线、圆、弧线、文字、实心体、区域、 样条曲线和椭圆等。它们所在的类（即ＡｃＤｂＥｎｔｉｔｙ）是从ＡｃＤｂＯｂｊｅｃｔ类派生而来的。 所谓块弓Ｉ用是指一个块表记录的实体。该实体包含有块插入点、ＥＣＳ（Ｅｙｅ Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ Ｓｙｓｔｅｍ）和ｘ、Ｙ、ｚ方向比例系数、旋转角度，以及一个法向矢量等信息。当用户插入块时，ＡｕｔｏＣＡＤ在内存中创建一个块引用而不是将块本身直接复制到图形中。上述两种方法都可以方便地改变实体的显示方式，但其中实体表示更节省存储空间，因此本文采用实体表示法来表示节点和单元数据对象。 有限元分析模型中的节点数据采用点实体（ＡｃＤｂＰｏｉｍ）表示。

单元实体如果为二维单元，如二维梁单元、三角形单元、四边形单元，则采用ＡｃＤｂＰｏｌｙｌｍｅ复合实体；三维单元实体则采用ＡｃＤｂＰｏｌｙｇｏｎＭｅｓｈ复合实体。ＡｃＤｂＰｏｌｙｌｉｎｅ复合实体是一种很复杂的图形实体，它有如图２．２所示的表现形式： 图２－２ＡｃＤｂＰｏｌｙｌｉｎｅ复合实体的结构Ｆｉ９２—２ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆＡｃＤｂＰｏｌｙｌｉｎｅ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ｅｎｔｉｔｙ 图２—２中的每个半园框代表一个实体，一个完整的ＡｃＤｂＰｏｌｙｌｉｎｅ复合实体由多个子实体构成。框中ＡｃＤｂＰｏｌｙｌｉｎｅ实体表示一个ｈｃＤｂＰｏｌｙｌｉｎｅ实体的开始，存放控制信１４ 第二章基于ＡｕｔｏＣＡＤ下的有限元前处理模块的数据结构息和附加信息。Ｓｅｑｅｎｄ实体表示ＡｃＤｂＰｏｌｙｌｉｎｅ实体的结束。ＡｃＤｂＰｏｌｙｌｉｎｅ实体和Ｓｅｑｅｎｄ 实体之间的Ｖｅｒｔｅｘ实体主要存放顶点坐标数据和拓扑关系数据。为了叙述方便，可以按Ｖｅｒｔｅｘ实体在数据库中的相对位置进行编号。最靠近ＡｃＤｂＰｏｌｙｌｉｎｅ实体的Ｖｅｒｔｅｘ 实体编号为１，记为：Ｖ１；Ｖ１之后的Ｖｅｒｔｅｘ实体编号为２，记为：Ｖ２；依此类推。

与此类似，用ＡｃＤｂＰｏ］ｙｇｏｒＮｅｓｈ表示三维单元实体时，其结构不仅包含ＡｃＤｂｌｉｎｅ 实体信息，还包含Ｖｅｘｔｅｘ实体信息。 载荷、边界条件和截面特性等非几何属性数据元素很难用单一基本图形实体表示， 并且由于大小、类型不同在外观表示上也不同，因此采用块引用实体较为理想。因为块引用不仅能够表示复杂的复合图形，而且可以通过对块定义的更改实现块引用的更改。 以载荷为例，它的表示方法可简单描述为：由用户输入六个方向的载荷分量；按比例生成图块Ａ；用户交互选择所施加的节点、线、面或体目标，在目标附近插入图块Ａ以表示此目标处存在载荷。当用户修改载荷时，仅需修改相关的块定义，载荷实体（即表示载荷的块引用实体）的显示将自动更新，用户也可对载荷实体进行旋转、拷贝等操作。 ２．３．３有限元模型数据定义上述单元、节点以及载荷、边界条件和截面特性等有限元数据类对象均采用ｈｕｔｏＣＡＤ 基类派生类定义。其谱系如图２－３所示： 图２－３有限元数据类对象谱系图Ｆｉ９２—３Ｐｅｄｉｇｒｅｅｐｉｃｔｕｒｅ ｏｆｆｉｍｔｅｅｌｅｍｅｎｔｄａｔａｃｌａｓｓ ｏｂｊｅｃｔｓ 在以上有限元数据类对象中，单元、节点信息为有限元模型中主要构成部分，因此首先要定义的为单元和节点类。

单元、节点的数据表示概括起来为：二链二表结构。二链为单元线性结构链和节点线性结构链；二表为单元信息列表和节点信息列表。以下具体说明： （１）单元链和单元信息列表： 华南理Ｔ大学硕十学位论文具有几何属性的ＣＥｌｅｍｅｎｔ单元定义类从ＡｅＤｂＥｎｔｉｔｙ类派生而出，而具体单元定义类，如ＣＴｒｉ２ｄ—ＤＮＹ（二维三角形平面单元类）、ＣＴｒｉ３ｄ ＤＮＹ（三维壳单元类）和ＣＴｅｔ（四面体单元类）则从ＣＥｌｅｍｅｎｔ单元定义类派生。图２—４为ＣＥｌｅｍｅｎｔ类定义的单元线性链表结构； 图２—４单元线性链表结构图Ｆｉ９２－４ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｏｆｅｌｅｍｅｎｔｓｌｉｎｅａｒｃｈａｉｎ 在单元内部，包含单元对象的ＩＤ标志、编号、组成单元的节点坐标和节点编号以及上、下一个单元类指针等信息。单元信息具体见表３—１： 表３－１单元信息列表Ｔａｂｌｅ３．１Ｅｌｅｍｅｎｔｓｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｔａｂｌｅ 序号单元信息序号单元信息单元顶点信息下面仅对三维四面体单元类ＣＴｅｔ的数据结构进行分析，其主要数据为ｃｌａｓｓ ＣＴｅｔ：：ｐｕｂｌ ｉｃＣＥｌｅｍｅｎｔ ｄｏｕｂｌｅｌｅ： ／／网格尺寸： ｉｎｔ ｉｎｄｅｘ： ／／四面体在链表中编号ＩＤ； ＡｅＤｂｏｂｊｅｃｔｌｄＴｅｔｌｄ： ／／四面体在数据库中的对象Ｉｄ； ｃｌａｓｓ ＣＴｅｔ—ｆａｃｅ＊ＴｅｔＦｓ一０，＊ＴｅｔＦｓ—ｉ，＊ＴｅｔＦｓ一２，＊ＴｅｔＦｓ一３： ／／四面体四个面类定义； ｃｌａｓｓ ＣＴｅｔ＊ｔｅｔ一０，＊ｔｅｔ—Ｉ，＊ｔｅｔ—２，＊ｔｅｔ一３： ／／四面体相邻的四个四面体类定义； ｃｌａｓｓ ＣＮｏｄｅ＊ｅ—ｎｄ—Ｏ，￥ｅ—ｎｄ一１，￥ｅ—ｎｄ一２，｛ｅ～ｎｄ一３； ／／四面体四个顶点类定义； ｃｌａＳＳ ＣＮｏｄｅ￥ｍ—ｎｄ ｏ，＊ｍ＿ｎｄ—ｌ，＊ｍ＿ｎｄ一２，＊ｍｎｄ＿３，＊ｍ＿ｎｄ一４，＊ｍ＿ｎｄ＿５： ／／四面体****条边的中间节点类定义； ／，指针ｃｌａｓｓＣＴｅｔ＊ｔｏｎｅｘｔ： ／／网格中下一个四面体指针； １６ 第二章基于ＡｕｔｏＣＡＤ下的有限元前处理模块的数据结构ｃｌａｓｓＣＴｅｔ＊ｔｏ ｐｒｅ； ／／网格中上一个四面体指针； （２）节点链和节点信息列表：自由节点是具有独立位置和自由度设置的几何项，它可同时属于几个不同的单元。

它和单元之间可通过对象ＩＤ互相索引。它也从ＡｃＤｂＥｎｔｉｔｙ类派生。 图２—５为节点线性链表结构图： 图２—５节点线性链表结构图Ｆｉ９２—５ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｏｆｎｏｄｅｓｌｉｎｅａｒｃｈａｉｎ 在节点内部，包含节点对象的ＩＤ标志、编号、节点隶属信息和节点载荷、位移约束信息以及上、下一个节点类指针等信息。节点信息具体见表３—２ 表３－２节点信息列表Ｆｉ９３—２ Ｎｏｄｅｓｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｔａｂｌｅ 序号节点信息序号单元信息节点所属实体面集合１０ 施加载荷标记节点所属实体边集合１１ 载荷值下一个节点指针ＣＮｏｄｅ节点类主要数据为： ｃｌａｓｓ ＣＮｏｄｅ：：ｐｕｂｌｉｃＡｃＤｂＥｎｔｉｔｙ ＡｃＧｅＰｏｉｎｔ３ｄｎｄ： ／／节点坐标； ｉｎｔ ＮｄＩｄ： ／／节点编号； ＡｃＧｅＩｎｔＡｒｒａｙ ＴｅｔＩｄｓ： ／／节点所属四面体标志集合； ＡｃＧｅＩｎｔＡｒｒａｙＳＦＩｄｓ： ／／节点所属实体面的标志集合； ＡｃＧｅＩｎｔＡｒｒａｙＥｇｌｄｓ： ／／节点所属实体边的标志集合： ｃｌａｓｓＣＮｏｄｅ＊ｎｌ ｈｅａｄ： ／／节点链表头； ｃｌａｓｓＣＮｏｄｅ＊ｔｏｎｅｘｔ： ／／节点链表中的下一个节点； ｉｎｔｓｅｔＤｉｓＬａｂ： ｄｏｕｂｌｅ ＵＸ，ＵＹ，ＵＺ ／／位移约束施加标记／／位移约束值； 华南理工大学硕十学位论文ｉｎｔ ｓｅｔＬｏａｄＬａｂ： ｄｏｕｂｌｅ ＦＸ，ＦＹ，ＦＺ ／／载荷施加标记／／载荷值： ２．３．４有限元模型数据的存储、访问和编辑所有有限元几何数据，包括单元和节点数据都存储于ＡｕｔｏＣＡＤ数据库中９个符号表（ＳｉｍｂｏｌＴａｂｌｅ）之一的块表（ＢｌｏｃｋＴａｂｌｅ）中；所生成的对象存储到模型空间的记录（ＭｏｄｅｌＳｐａｃｅ ＢｌｏｃｋＴａｂｌｅ Ｒｅｃｏｒｄ）中。

数据的存储可以使用以下的类实现； ＡｃＤｂＢＩｏｃｋＴａｂｌｅ类、ＡｃＤｂＢｌｏｃｋＴａｂｌｅＲｅｃｏｒｄ类；数据的访问可以使用遍历器ＡｃＤｂＢｌｏｃｋＴａｂｌｅＲｅｃｏｒｄｌｔｅｒａｔｏｒ来实现。也可以通过ａｄｓ函数ａｄｓ—ｅｎｔｓｅｌ或ａｄｓ—ｓｓｇｅｔ 生成选择集的方式访问数据。 ２．３．５非几何数据的存储和访问非几何数据包括材料数据、几何特性数据、单元组、载荷、位移约束方程和求解控制等等，都存储在数据库的命名对象字典中，命名对象字典可以被看作所有与数据库相关字典的“目录”，用户可以在命名对象字典内创建新字典并将新数据库对象添加到这个字典中。存储的结构图如图２－６所示； 所有字典类数据均通过字典访问类ＡｃＤｂＤｉｃｔｉｏｎａｒｙｌｔｅｒａｔｏｒ进行访问。 图２—６非几何数据在字典中的存储Ｆｉ９２—６Ｍｅｍｏｒｙｏｆｎｕｎ－ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｄａｔａｓｉｎ ＮａｍｅｄＤｉｃｔｉｏｎａｒｙ １８ 第二章基于ＡｕｔｏＣＡＤ下的有限元前处理模块的数据结构２．４本章小结本章利用ＡｕｔｏＣＡＤ的０ｂｊｅｃｔＡＲＸ编程技术和对象存储技术，对有限元模型的数据结构进行了有效组织和设计，从而可以实现面向对象和面向图形的、可与ｈｕｔｏＣＡＤ几何造型系统无缝集成的有限元前处理系统。

华南理工大学硕士学位论文第三章基于几何特征的有限元自适应网格自动生成方法及其在二维域内的实现３．１引言目前，有限元网格形式主要体现为两种类型，一种是均匀网格，其特点是网格粗细基本相同。均匀网格不能根据分析对象几何特征和物理特性进行自适应加密；另一种是自适应网格，其特点是先构造反映原几何形体的粗网格，然后根据几何形体物理场分析结果，估计误差，在形体物理特性部位进行网格加密。上述白适应网格类型，虽然其最终网格能体现物理特性对网格密度的影响，但从初始网格到最终网格的调整过程，需花费较长的计算时间。因此有究人员提出基于分析域几何特征和物理特性自适应网格自动生成的思想”…，进行相关研究，并取得了许多重要进展“…，扩大了有限元法的工程应用范围。 基于几何特征的有限元自适应网格生成的前提和基础是能够在网格生成前，预先对几何形体的局部特征，尤其是局部区域宽窄、疏密特征进行识别，从而为下一步决定网格单元尺寸提供依据；因此，在实现自适应网格算法之前，必须首先建立一个几何形体局部区域疏密识别规则。 ３．２几何形体局部区域疏密识别规则３．２．１ Ｄｅｌ ａｕｎａｙ初始剖分三角形单元外接圆集合性质本文针对任意复杂二维形体基于几何特征自适应网格自动生成开展研究。

研究过程中，发现了在对二维形体边界进行Ｄｅｌａｕｎａｙ初始剖分所生成的均匀三角形单元外接圆的四个性质，利用该四个性质与形体几何特征之间的有机联系，建立了几何形体局部区域疏密识别规则，在该规则的控制下实现了任意复杂二维形体基于几何特征自适应网格的自动生成，并取得良好效果。 根据Ｄｅｌａｕｎａｙ三角剖分的“空圆（球）准则”（见ｌ＿２．４节点连接法中关于Ｄｅｌａｕｎａｙ 三角剖分性质３），以及ＤａｖｅＷａｔｓｏｎ““提出的利用“空圆（球）准则”对点集进行Ｄｅｌａｕｎａｙ 剖分的算法：即首先构造一个包含待剖分二维点集的初始大三角形，逐个插入点集中的点，每插入一个新点，判断它被哪些已形成的三角形的外接圆所包含，将这些三角形删２０ 第三章基于几何特征的有限元白适应网格自动生成方法及其在二维域内的实现除，只保留这些三角形的外边界，形成一个“插入多边形”。将新插入点依次与插入多边形的每个顶点相连接，便形成新的三角剖分，这个过程重复进行，直至点集中的所有点插入完成为止。所有三角形集合记为：ＤＴ（Ｐ）。ＤＴ（Ｐ）具有以下四个性质： ａ）二维形体ａ）２－Ｄｍｏｄｅｌｉｎｇ ｂ）二维形体边界均匀Ｄｅｌａｕｎａｙ初始剖分离散点集ｂ、Ｅｖｅｎ Ｄｅｌａｕｎａｙｏｒｉｇｉｎａｌ ｍｅｓｈ ｔｅｍｐ ｏｆ２一Ｄ ｍｏｄｅｌｉｎｇ 图３－１二维形体边界均匀离散点集Ｄｅｌａｕｎａｙ剖分Ｆｉ９３——１ Ｅｖｅｎ Ｄｅｌａｕｎａｙｏｒｉｇｉｎａｌ ｍｅｓｈ ｔｅｍｐ ｏｆ２－Ｄ ｍｏｄｅｌｉｎｇ 其中：图３—１（ｂ）为（ａ）中二维形体边界以尺寸ｆ，均匀离散后生成的边界离散点集Ｐ，利用Ｗａｔｓｏｎ算法，进行Ｄｅｌａｕｎａｙ剖分后，未去除形心在形体外三角形单元时的结果。

其中点划线矩形框所截分别为连接至初始大三角形的三个顶点。 －眭质１：当边界均匀离散尺寸ｔ趋向于零（ｚ。斗０）时，ＤＴ（尸）中形体内三角形外接圆圆心趋向形体中轴轨迹。 不失一般性，以点划线矩形框Ｉ截取图３一ｌ（ｂ）中内的三角形单元ＡＢＣ及其相邻单元进行分析，如图３—２所示，其中单元顶点Ｄ、Ａ、Ｅ、Ｈ属于边晃曲边一，单元顶点Ｇ、 Ｂ、ｃ、Ｆ属于边界曲边二。 显然，当均匀离散尺寸ｔ趋向于零时，ＡＡＢＣ顶点Ｂ、ｃ趋向曲边段Ｂｃ的中点Ｍ。由Ｄｅｌａｕｎａｙ音１］分的“空圆性质”可知：ＡＢＣ）ｂ接圆巾不会包含Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ各点。在上述趋向点假设下，可知： 当ｔ趋向于零时，ＡＢＣ）ｂ接圆趋向与边界曲边一在点Ａ相切， 与边界曲边二在点Ｍ相切，即ＡＡＢＣ９＇［－接圆中趋向内切于边界曲边一和边界曲边二之间， 如图２中阴影圆所示。根据形体中轴的定义２。２…，即ＡＡＢＣ）ｂ接圆圆心０趋向形体中轴轨迹。其它三角形同样如此。 边界曲边二图３－２性质１分析图Ｆｉ９３－２Ａｎａｌｙｓｉｓ ｔｏＡｔｔｒｉｂｕｔｉｏｎ１ 图３—３为离散尺寸较小情况下，形体内三角形单元外接圆的分布情况。图３．４为外接圆圆心和形体关键点连线构成的形体近似中轴轨迹。

图３－３形心在形体内三角形的外接圆集合Ｆｉ９３—３Ｔｅｍｐ ｏｆｃｉｒｃｕｍｃｉｒｃｌｅｓ ｏｆｔｒｉａｎｇｌｅｓ ｍｏｄｅｌｉｎｇ图３－４二维形体中轴近似轨迹Ｆｉ９３—４Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ ｔｒａｉｌｏｆｃｅｎｔｒｅａｘｅｓｏｆ２－Ｄ ｍｏｄｅｌｉｎｇ 必须注意：上述分析了形体内单元的情况，利用类似方法进行分析可知：如果三角形单元的形心在形体外，且单元的三个顶点属于边界均匀离散点集尸，即都在形体边界上，则当Ｚ，趋向于零时，该三角形外接圆同样趋向内切于不同曲边边界或同一边界子曲边之间。该单元外接圆直径反映了该单元附近区域不同曲边边界或同一边界子曲边之间的宽窄情况，即反映形体外与该单元相应的内凹区域的几何特征。性质２：当边界离散尺寸己趋向于零（ｆ，呻０）时，ＤＴ（Ｐ）中形体内三角形最大外接圆趋向最大中轴内切圆，最大外接圆直径趋向最大中轴内切圆直径，即有： 第三章基于几何特征的有限元自适应网格自动生成方法及其在二维域内的实现ｌｉｍＤｍ。 ＝妒一其中：ｍ缸为最大中轴内切圆直径，Ｄ。 .为外接圆集中最大外接圆直径。由二维形体中轴具有唯一性可知：中轴内切圆的最大直径为一定值。

根据性质１可知：当边界均匀离散尺寸Ｌ趋向于零时，该外接圆集合中最大外接圆趋向最大中轴内切圆，最大的外接圆对应形体特征尺寸最大区域。由此分析可得如下性性质３：如果ｏｒ（ｅ）中三角形单元的三个】页点为同一曲边边界均匀离散点集中相邻的三个点，当？ .趋向干零时（Ｚ。＿０），该三角形三个顶点趋向于重合，记重合点为Ｑ， 该三角形单元的外接圆趋向干与该边界曲边在点Ｑ处相切，其半径趋向该曲边边界在点