图形学笔记二 正交矩阵、转置矩阵和旋转

图形学笔记二 正交矩阵、转置矩阵和旋转

参考课程P4：

1.正交矩阵和转置矩阵

请参阅对称矩阵、对角矩阵和三角矩阵

1. 对称矩阵

对称矩阵（ ）是指元素以主对角线为对称轴的矩阵，例如：

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可见对称矩阵的转置等于其自身

2. 对角矩阵

对角矩阵（ ）是指除主对角线以外元素全部为0的矩阵，例如：

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3. 三角矩阵

三角矩阵 ( ) 分为上三角矩阵和下三角矩阵。

上三角矩阵（Upper）是指主对角线以下元素全为0的矩阵，如：

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下三角矩阵（Lower）是指主对角线以上元素全为0的矩阵，如：

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可见对角矩阵一定是三角矩阵。 4.参考正交矩阵

正交矩阵是转置等于逆矩阵的矩阵

正交：可以简单理解为成就是垂直的。

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对于正交矩阵来说，组成它的列向量构成了空间基，称为：正交基。 并且我们知道：对于一个空间，我们可以找到很多不同的基来表示（参考相似度矩阵的基变换），那么对于一个空间：假设已知的基是非正交基，可以怎么做关于获得其正交基？ 【施密特求积法】。

以三维空间为例，我们希望正交矩阵为：

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但事实上他很可能是这样的：

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也就是说z轴逆时针旋转45°。 此时，向量a、b、c仍然相互正交，但它们的列向量并不都在标准轴上。 对角化的结果是对角矩阵 ，本质是将矩阵列向量放在标准轴上。 那么很明显：正交矩阵一定能做到！

请参阅为什么正交矩阵必须可对角化？

正交矩阵是三维坐标系中倾斜的立方体。 对角化就是把立方体拉直（即把某个顶点放在原点上，同时这个顶点的三条边正好在三维坐标系的xyz三个轴上）。 所以这个定理的含义是任何弯曲的立方体都可以通过劳动力和资本拉直。 这个定理是非常直观的。

所以结论是：任何正交矩阵都必须可对角化！

5. 转置矩阵

交换矩阵的行和列得到的新矩阵称为转置矩阵，转置矩阵的行列式保持不变。

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转置矩阵：

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如果 N 阶方阵与其转置相等，则称为对称矩阵。

转置矩阵在线条生成视频中并没有深入介绍，所以这里只关注如何应用它。

5、P4开头，颜老师提到了正交矩阵和转置矩阵

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写出旋转θ和旋转负θ的矩阵，你会发现旋转负θ等于旋转θ的转置，这是正交矩阵的性质。 通常找到逆矩阵的代价很高，但是找到转置矩阵却很简单。

二、3d。 平移和缩放相对简单

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2.旋转，这里的视频有点快，我说说我的理解

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这里使用右手定则，以绕X轴旋转为例，还是用同样的思路，看看i-hat、j-hat、k-hat的基坐标变换：

显然，绕x旋转时，x方向的基向量保持不变，即垂直(1,0,0)，然后是y和z轴：

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显然，y变为(0,cos α,sin α)

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显然，z变为(0,-sinα,cosα)

因此，绕 x 轴旋转的线性变换为：

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当绕y轴转动时，我们可以看到有一个平面随着xz轴旋转。 如图，x轴旋转到其左上方的红轴，变为(cos α,0,-sin a)，z变为(sin α,0,cos α)

画风有点丑啊……

绕z旋转也是如此，所以不会被绘制。 3.罗德里格旋转公式(' )

视频很快就开始讲这个公式了，然后我就不懂了，还是自己去搜一下吧。 首先是百度百科，给出了这个公式的定义：

矢量旋转公式首先由法国数学家本杰明·奥伦德·罗德里格（ ，（1795-1851））推导出来，后来被应用于许多领域。 假设v是三维空间向量，k是旋转轴的单位向量，那么按右手螺旋定则意义将v绕旋转轴k旋转角度θ得到的向量可以组成三个非共面向量 v、k 和 k× v 构成的框表示：

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那么B站的视频就有了公式推导。 有了之前的线代基础，就可以直接观看P2了：

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视频首先讲了绕Z轴的旋转。 此时，定义k向量平行于Z轴，V向量平行于X轴。 然后它旋转 θ 并运行到 v rot 位置。 图中所示的公式很容易理解。 后半部分的kv点乘实际上是右手定则下的Y坐标轴（四指指向K然后弯曲到V，大拇指的方向是Y），然后乘以sina θ，就是旋转向量在Y轴上的投影就是Y坐标值。

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百度百科用的是这张图

作者这里的想法是，首先将v分解为一个向上向量和一个向左向量。 左向量旋转后，加上向上向量，将组合成目标向量v rot 。

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这里上图中带问号的部分应该是作者的错误。 其实垂直分量的投影很容易理解。 用v乘以k得到一个标量，即k方向投影向量的长度。 为了表示这个投影向量，需要指定它的方向，然后将其乘以 ak 单位向量即可：

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然后就是求v的垂直分量，这里用的是向量相加，等号两边改变，就是vv的垂直分量。

然后利用上面的公式，利用v垂直分量求出对应的v垂直分量根。 （V垂直分量根，这里不方便打出公式，用文字描述有点麻烦，就是上图中的最后一行……）

现在将以上结果合并后，提取公因式并简化得到：

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那么就是证明上图中方框内的两个东西是相等的，并且根据右手定则可以看出方向是相同的。 至于尺寸，截图中省略的部分已经用红圈填充了，它的值正是|v| 上式中的sin。

在P3中，作者推导了矩阵表示，即vrot = R v，那矩阵R是什么呢？ 这里没有仔细看，所以直接给出结论：

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